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高等数学教材-函数与极限-10、函数极限的运算规
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10、函数极限的运算规则
⑴、函数极限的运算规则
   若已知x→x0(或x→∞)时,
.
则: 
 
    
      
    推论:
    
在求函数的极限时,利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。
例题:求
解答:
例题:求
此题如果像上题那样求解,,像这种情况怎么办呢?下面我们把它解出来。
解答:
注:通过此例题我们可以发现:当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了,应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形,然后运用规则求之。
函数极限的存在准则
学习函数极限的存在准则之前,我们先来学习一下左、右的概念。
我们先来看一个例子:
例:符号函数为
对于这个分段函数,、右极限的概念。
定义:如果x仅从左侧(x<x0)趋近x0时,函数
与常量A无限接近,则称A为函数
当
:
如果x仅从右侧(x>x0)趋近x0时,函数
与常量A无限接近,则称A为函数
当
:
注:只有当x→x0时,函数
的左、右极限存在且相等,方称
在x→x0时有极限
函数极限的存在准则
   准则一:对于点x0的某一邻域内的一切x,x0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的一切x)有
≤
≤
,且
,
那末
存在,且等于A
注:此准则也就是夹逼准则.
准则二:单调有界的函数必有极限.
注:有极限的函数不一定单调有界
两个重要的极限
   一:
注:其中e为无理数,它的值为:e=...
二:
注:在此我们对这两个重要极限不加以证明.
注:我们要牢记这两个重要极限,在今后的解题中会经常用到它们.
例题:求
解答:令
,则x=-2t,因为x→∞,故t→∞,
则
注:解此类型的题时,一定要注意代换后的变量的趋向情况,象x→∞时,若用t代换1/x,则t→0.
无穷大量和无穷小量
无穷大量
我们先来看一个例子:
已知函数
,当x→0时,可知
,我们把这种情况称为
趋向无穷大。为此我们可定义如下:设有函数y=
,在x=x0的去心邻域内有定义,对于任意给定的正数N(一个任意大的数),总可找到正数δ,当
时,
成立,则称函数当
时为无穷大量。
记为:
(表示为无穷大量,实际它是没有极限的)
同样我们可以给出当x→∞时,
无限趋大的定义:设有函数y=
,当x充分大时有定义,对于任意给定的正数N(一个任意大的数),总可以找到正数M,当
时,
成立,则称函数当x→∞时是无穷大量,记为:
无穷小量
以零为极限的变量称为无穷小量。
定义:设有函数
,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ(或正数M),使得对于适合不等式
(或