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二次函数的知识点
二次函数的解析式:
(1)一般式: y=ax2+bx+c(a≠0),
(2)顶点式:y=a(x+m)2+k(a≠0),此时二次函数的顶点坐标为(-m,k)
(3)分解式:y=a(x-x1)(x-x2)其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标,此时二次函数的对称轴为直线x=;
2、二次函数的图象与性质:
(1)开口方向:当a>0时,函数开口方向向上;当a<0时,函数开口方向向下;
对称轴:直线x=-b/2a;
(2)顶点坐标:(,);
(3)增减性:当a>0时,在对称轴左侧,y随着x的增大而减少;在对称轴右侧,y随着x的增大而增大;当a<0时,在对称轴左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴右侧,y随着x的增大而减少;
(4)最大或最小值:当a>0时,函数有最小值,并且当x=,y最小值=;当a<0时,函数有最大值,并且当x=,y最大值=;
(5)与X轴的交点个数:当Δ=b2-4ac>0时,函数与X轴有两个不同的交点;Δ=b2-4ac <0时,函数与X轴没有交点;Δ=b2-4ac =0时;函数与X轴只有一个交点;
(6)函数值的正、负性:
如图1:当x<x1或x>x2时,y > 0;当x1<x<x2时,y<0;
如图2:当x1<x<x2时,y>0;当x<x1或x>x2时,y < 0;
(7)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点坐标为A(x1,0),B(x2,0) ,则二次函数与X轴的交点之间的距离AB==
(8)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 中a、b、c的符号判别:(1)a的符号判别由开口方向确定:当开口向上时,a>0;当开口向下时,a<0;(2)c的符号判别由与Y轴的交点来确定:若交点在X轴的上方,则c>0;若交点在X轴的下方,则C<0;(3)b的符号由对称轴来确定:对称轴在Y轴的左侧,则a、b同号;若对称轴在Y 轴的右侧,则a、b异号;
(9)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与X轴只有一个交点或二次函数的顶点在X轴上,则Δ=b2-4ac=0;
(10)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点在Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称,则b=0;
(11)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,则c=0;
(12)y=a(x-h)2+k(a≠0)可以由y=ax2平移得到:
当h>0,k>0时,将y=ax2向右平移h个单位,再向上平移k个单位;
当h>0,k<0时,将y=ax2向右平移h个单位,再向下平移k个单位;
当h<0,k<0时,将y=ax2向左平移h个单位,再向下平移k个单位;
当h<0,k>0时,将y=ax2向左平移h个单位,再向上平移k个单位.
(13)的平移规律
将抛物线沿轴向上平移个单位,得;
将抛物线沿轴向下