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等差等比数列的综合及数列求和
知识要点:
1、等差数列、等比数列的综合
(1)等差数列通项公式有如下求法:


∴
当成立。
由此,这种“累加法”适用于如下数列:
的数列求通项公式。
(2)等比数列通项公式有如下求法:



当成立。
由此,这种“累乘法”知用于如下数列,
的数列求通项公式。
(3)“错位相减法”求“差比数列”的前n项和
等比数列前n项和公式采用的是“错位相减法”求得,用此方法还可以求符合条件的“差比数列”求前n项和:,其中是等差数列,是等比数列,公差为d,公比为q。
设
……(1)
两边同乘以q,得

……(2)
(1)-(2),得:

∴
2、数列求和
求的方法有如下几种
(1)公式法:等差数列中
等比数列中

(2)错位相减法:如果一个数列的通项是由一个等比数列相应项乘积构成其前n项和公式可以采用“错位相减法”求得。
(3)裂项法:如果一个数列的通项公式是分式形式,通常可考虑采用这种方法。
3、方程与函数思想在等差数列、等比数列中的应用:
对于等差数列来说,其通项公式可以写成自变量的函数式,其图象是在同一条直线的一系列点,d为这些点所在直线的斜率,是纵截距。
等差数列的前n项和公式可以写成自变量的函数式,其图象是分布在抛物线上的一系列点,为二次项系数,为一次项系数,常数项为0。容易知道,>0时有最小值,<0时有最大值。
对于等比数列常采用方程的方法解决问题,解决问题时除用“代入法消元”、“加减法消元”之外还常用“除法消元”。
4、“换元法”求数列的通项公式
如果一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,但由构造的新数列是等差数列或等比数列,通过求的通项公式,由解出的通项公式的方法是“换元法”我们也可以称之为“等差数列、等比数列转化法”。