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30 中等数学
2009女子数学奥林匹克
后,使每个标号为 k ( k = 1, 2, ⋯, n)的棋子在
第一天
点 Vk处, 则称这种连线段的方式为“和谐
1. 求证:方程 abc = 2 009 ( a + b + c)只有的”. 求在所有和谐的连线段的方式中,线段
有限组正整数解( a, b, c). (梁应德供题) 数目的最小值. (付云皓供题)
2. 如图 1,在△AB C 中, BAC = 90°,点
第二天
E在△ABC 的外
接圆圆Γ的弧 5. 设实数 x、y、z大于或等于 1. 求证:
( x2 - 2x + 2) ( y2 - 2y + 2) ( z2 - 2z + 2)
BC (不含点 A )
≤( xyz) 2 - 2xyz + 2. (熊斌供题)
内, A E > EC. 联
6. 如图 2, 圆
结 EC 并延
Γ、Γ内切于点 S ,
长至点 F, 使得 1 2
图
1 圆Γ的弦 AB 与圆
EAC = CA F, 2
Γ切于点 C, M 是
联结 B F交圆Γ于点 D ,联结 ED ,记△D EF 1
的外心为 O. 求证: A、C、O 三点共线. 弧 AB (不含点 S )
(边红平供题) 的中点,过点 M 作
3. 在平面直角坐标系中,设点集 MN AB ,垂足为图 2
N. 记圆Γ的半径
{ P1 , P2 , ⋯, P4n + 1 } 1
= { ( x, y) | x、y为整数, | x | ≤n, | y | ≤n, xy =0} , 为 r. 求证: AC· CB = 2 rMN. (叶中豪供题)
在一个× 的方格表中有一个由
其中, n N + . 求 7. 10 10
2 2 2 2 4n个 1 × 1的小方格组成的图形,它既可被 n
(P1 P2 ) + (P2 P3 ) + ⋯+ (P4n P4n + 1 ) + (P4n + 1 P1 )
的最小值. (王新茂供题) 个“”型的图形覆盖,也可被 n个“”或
“”型(可以旋转)的图形覆盖. 求正整数
4. 设平面上有 n ( n≥4)个点 V1 , V2 , ⋯,
n的最小值. (朱华伟供题)
Vn ,任意三点不共线,某些点之间连有线段.
把标号分别为 1, 2, ⋯, n的 n枚棋子放置在 8. 设 an = n 5 - n 5 . 求数列 a1 , a2 ,
这 n个点处,每个点处恰有一枚棋子. 现对这⋯, a2 009中的最大项和最小项,其中, x 表示
n枚棋子进行如下操作:每次选取若干枚棋不超过实数 x的最大整数. (王志雄供题)
子,将它们分别移动到与自己所在点有线段
参考答案
相连的另一个点处;操作后每点处仍恰有一
第一天
枚棋子,并且没有两枚棋子在操作前后交换
位置. 若一种连线段的方式使得无论开始时 1. 只需证明:原方程满足 a ≤b≤c的正
如何放置这 n枚棋子,总能经过有限次操作整数解只有有限多组.
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