2 5矩阵的初等变换与相关初等矩阵.ppt

一、初等变换
二、初等矩阵
三、求逆矩阵的初等行变换法
初等矩阵的作用、初等矩阵的可逆性
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第5节矩阵的初等变换与初等矩阵
初等变换
交换第i行与第j行记为rirj .
1
5
-1
-1
1
-2
1
3
1
-9
3
7
3
8
-1
1
1
-2
1
3
1
-9
3
7
r2r4
———
1
5
-1
-1
3
8
-1
1
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一,称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列);
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列);
(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.
例如
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-1
1
3
-1
交换第i列与第j列记为cicj .
1
5
-1
-1
1
-2
1
3
1
-9
3
7
3
8
-1
1
c1c3
———
5
-2
-9
8
-1
3
7
1
1
1
1
3
例如
下页
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一,称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列);
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列);
(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.
用数k乘以第i行记为kri .
1
5
-1
-1
1
-2
1
3
1
-9
3
7
3
8
-1
1
4r2
———
4
4
-8
12
1
-1
5
-1
1
3
-9
7
3
-1
8
1
例如
下页
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一,称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列);
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列);
(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.
用数k乘以第i列记为kci .
1
5
-1
-1
1
-2
1
3
1
-9
3
7
3
8
-1
1
4c3
———
-4
4
12
-4
1
5
-1
1
-2
3
1
-9
7
3
8
1
例如
下页
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一,称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列);
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列);
(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.
第i行的k倍加到第j行记为rj+kri .
1
5
-1
-1
1
-2
1
3
1
-9
3
7
3
8
-1
1
r3-3r1
———
1
5
-1
-1
1
-2
1
3
1
-9
3
7
0
-7
2
4
例如
下页
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一,称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列);
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列);
(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.
第i列的k倍加到第j列记为cj+kci .
1
5
-1
-1
1
-2
1
3
1
-9
3
7
3
8
-1
1
c3+c1
———
0
2
4
2
1
5
-1
1
-2
3
1
-9
7
3
8
1
例如
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初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一,称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列);
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列);
(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.
定理3 任意一个
矩阵都可以经过一系列的初等变换
化成下述形式
它称为矩阵A的标准形(1的个数可以是零).
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定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵(或初等方阵).
初等矩阵有下列三种: E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
=E(2, 4)
例如,下面是几个4阶初等矩阵:
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
E=
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
r2r4
———
=E(2, 4)
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
E =
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
c2c4
———
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