第二章 控制系统的数学模型.ppt

第二章控制系统的数学模型
数学模型基础
线性系统的微分方程
线性系统的传递函数
系统的结构图
信号流图及梅逊公式
End
本章作业
:数学模型是指出系统内部物理量(或变量)之间动态关系的表达式。
数学模型基础


●建立系统的数学模型,是分析和设计控制系统的首要工作(或基础工作)。
●自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等,然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此,通过数学模型来研究自动控制系统,可以摆脱各种不同类型系统的外部特征,研究其内在的共性运动规律。




微分方程(或差分方程)
传递函数(或结构图)
频率特性
状态空间表达式(或状态模型)

求解
观察
线性微分方程
性能指标
传递函数
时间响应
频率响应
拉氏变换
拉氏反变换
估算
估算
计算
傅氏变换
S=jω
频率特性

微分方程的列写
线性系统的微分方程
R1
C1
i1 (t)
ur(t)
uc(t)
微分方程的列写步骤
1)确定系统的输入、输出变量;
2)从输入端开始,按照信号的传递顺序,根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程;
3)消去中间变量,写出输入、输出变量的微分方程;
4)变换成标准形式。







试列写质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。
图为机械位移系统。
R
L
C
i(t)
ur(t)
uc(t)
F
y(t)
k
f
m
如图RLC电路,试列写以ur(t)为输入量,uc(t)为输出量的网络微分方程。
整理得:
解: 阻尼器的阻尼力:
弹簧弹性力:
解:
返回
非线性系统:用非线性微分方程描述。
微分方程的类型
线性定常系统:用线性微分方程描述,微分方程的系数是常数。
线性系统的重要性质:满足叠加性和均匀性(齐次性)。即:
如果输入r1(t)—>输出y1(t),输入r2(t)—>输出y2(t)
则输入a r1(t)+b r2(t) —>输出a y1(t)+by2(t)
线性系统:用线性微分方程描述。
线性时变系统:用线性微分方程描述,微分方程的系数是随时间而变化的。



非线性元件微分方程的线性化
小偏差线性化:用台劳级数展开,略去二阶以上导数项。
一、假设:x,y在平衡点(x0,y0)附近变化,即
x=x0+△x, y=y0+△y
二、近似处理
略去高阶无穷小项
严格地说,实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性,而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内,可以用线性系统模型近似,称为非线性模型的线性化。
三、数学方法



求解方法:经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。
线性定常微分方程的求解
R1
C1
i 1(t)
ur(t)
uc(t)
已知R1=1,C1=1F,uc(0)=,
ur(t)=1(t),求 uc(t)
拉氏变换法求解步骤:
1. 考虑初始条件,对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换,得到变量s的代数方程;
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式;
3. 对输出量拉氏变换函数求反变换,得到输出量的时域表达式,即为所求微分方程的解。
解:
零初始条件下取拉氏变换:



传递函数的定义
传递函数
线性定常系统在零初始条件下,输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,称为传递函数。







试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s).
如图RLC电路,
R
L
C
i(t)
ur(t)
uc(t)
Ls
R
1/sC
I(s)
Ur(s)
Uc(s)
1) 传递函数是复变量S的有理真分式函数,分子多项式的次数m 低于或等于分母多项的次数n,所有系数均为实数;
2) 传递函数只取决于系统和元件的结构,与输入信号无关;
3) 传递函数与微分方程有相通性,可经简单置换而转换;
4) 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。
5) 传递函数是在零初始条件下定义的,它只反应系统的零状态特性