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动点问题
引言:动点题是近年来中考的的一个热点问题,解这类题目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”,以不变应万变,首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量,第二,按照图形中的几何性质及相互关系,找出一个基本关系式,把相关的量用一个自变量的表达式表达出来,然后再根据题目的要求,依据几何、代数知识解出。第三,确定自变量的取值范围,画出相应的图象。
数学思想:分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想
专题一:建立动点问题的函数解析式
一、应用勾股定理建立函数解析式
例1如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.
(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.
(2)设PH,GP,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量的取值范围).
(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.
H
M
N
G
P
O
A
B
图1
解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段,这条线段是GH=NH=OP=2.
(2)在Rt△POH中, , ∴.
在Rt△MPH中,
.
∴=GP=MP= (0<<6).
(3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况:
①GP=PH时,,解得. 经检验, 是原方程的根,且符合题意.
O
●
F
P
D
E
A
C
B
3(1)
②GP=GH时, ,解得. 经检验, 是原方程的根,但不符合题意.
③PH=GH时,.
综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为或2.
二、应用比例式建立函数解析式
例2如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.
(1)求证: △ADE∽△AEP.
●
P
D
E
A
C
B
3(2)
O
F
(2)设OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域.
(3)当BF=1时,求线段AP的长.
解:(1)连结OD.
根据题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.
又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP.
(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD∥BC, ∴
,,
∴OD=,AD=. ∴AE==.
∵△ADE∽△AEP, ∴, ∴. ∴().
(3)当BF=1时,①若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1),则CF=4.
∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE,
∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.∴5-=4,,即AP=2.
②若EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2.
类似①,可得CF=CE.∴5-=2,,即AP=6.
综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6.
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
A
B
C
O
图8
H
例3如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,⊙(与点B、C不重合),设BO=,△AOC的面积为.
(1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.
(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,
△AOC的面积.
解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.
∵∠BAC=90°,AB=AC=, ∴BC=4,AH=BC=2. ∴OC=4-.
∵, ∴().
(2)①当⊙O与⊙A外切时,
在Rt△AOH中,OA=,OH=, ∴. 解得.
此时,△AOC的面积=.
②当⊙O与⊙A内切时,
在Rt△AOH中,OA=,OH=, ∴. 解得.
此时,△AOC的面积=.综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为或.
专题二:动态几何型压轴题
一、以动态几何为主线的压轴题
(一)点动问题.
,中,,,点在边上,且,以点为顶点作,分别交边于点,交射线于点.
(1)当时,求的长;
(2)当以点为圆心长为半径的⊙和以点为圆心长为半径的⊙相切时,
求的长;
(3)当以边为直径的⊙与线段相切时,求的长.
解:(1) 证明∽∴,代入数据得,∴AF=2
(2)