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§ 布洛赫波
固体电子论—主要研究固体中电子的运动规律。
固体中电子的运动状态对固体的力学、热学、电磁学、光学等物理性质有着非常重要的影响。因此研究固体中电子运动规律是固体物理学的一个重要内容。
固体电子论主要包括
(特鲁特-洛伦兹模型);
(索末菲模型);
(布里渊模型)。
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能带理论
是研究固体中电子运动的主要理论基础,能带理论定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性及其特点,说明了导体、非导体的区别。能带理论提供了分析半导体理论问题的基础,推动了半导体技术的发展。
随着计算机技术的发展,能带理论的研究从定性的对普遍性规律的研究发展到对具体材料复杂能带结构的计算。
能带理论—是建立在单电子近似基础上的固体理论。
单电子近似的理论—把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。
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一、布洛赫定理

(1)特鲁特-洛伦兹模型
忽略晶体的势场。自由电子服从麦克斯韦—玻耳兹曼分布。
(2)索末菲模型
平均势场,V0=常数(可选V0=0)。自由电子服从费米—狄拉克分布。
(3)布里渊模型
周期性势场,势场分布具有晶格的周期性。电子服从费米—狄拉克分布。
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—晶体中势场的周期性
金属中正离子形成的电场是一种周期性变化的电场。电子接近正离子时其势能要降低,离开正离子时期势能要升高。电子在金属中的运动并不是完全自由的。
晶体中所有的正离子势场和其它电子的平均场是周期性势场。电子是在规则排列的周期性势场中运动。这种势场具有晶格的周期性。
对于一维势场:
V(x)=V(x+na)
a为原包长度,n为任意整数。
对于三维势场:
格矢量(正格矢)
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(1)绝热近似
把电子系统与原子核(离子实)分开考虑的处理方法称为绝热近似。
离子实质量比电子大,离子运动速度慢,因此在讨论电子问题时,可以认为离子实是固定在瞬时位置上不动。电子是在固定不动的离子实产生的势场中运动。晶格振动以及其它缺陷对电子的影响可以用微扰方法处理。
通过绝热近似, 把多种粒子的多体问题简化为了多电子问题。
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(2)平均场近似
由于任何一个电子的运动不仅与它自身的位置有关,而且还与所有其它电子的位置有关,并且该电子也影响其它电子的运动。即所有电子的运动都是关联的。
平均场近似—用一种平均场来代替电子之间的相互作用〔利用Hartree(哈特里) —Fock(福克)自洽场方法〕,即假定每个电子所处的势场都相同。
将多电子问题简化为单电子问题,每个电子是在固定的离子势场以及其它电子组成的平均场中运动。所有的电子都满足同样的薛定谔方程。
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(3)周期场近似
周期场近似,所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场。
(4)单电子近似
将电子气在晶体中运动的多粒子的多体问题近似的简化为一个电子在周期性势场中运动的问题来处理的方法称为单电子近似。建立在单电子近似基础上的固体理论称为能带理论。
(5)近自由电子模型
如果晶体中电子的势能同系统中电子能量的平均值相比是一个微小量, 可在自由电子模型的基础上作微扰计算。这种模型称为近自由电子模型。
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(1)布罗赫定理
在周期性势场V(x)中运动的电子,其能量E(k)和波函数k(x)必须满足薛定谔方程,波函数是按晶格周期调幅的平面波。
(2)布罗赫定理的数学表达式
具有如此形式的波函数称为布洛赫函数.
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(1)Ĥ算符的周期性证明
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