第二\三节
一、偏导数
二、高阶偏导数
偏导数及全微分
第九章
三、全微分
四、连续、可微与偏导数存在
之间的关系
定义1.
在点
存在,
记为
的某邻域内
则称此极限为函数
极限
设函数
注意:
的偏导数,
一. 偏导数:
设函数
内任一点处都存在
则可得
的偏导数,
对
在区域
定义2 .
记作
x ( 或 y )
的
对
x ( 或 y )
偏导函数(简称偏导数),
或
例 1. 设
求
解:
将
视为常数,
对
求导得
将
视为常数,
对
求导得
例 2. 设
解:
求
另:
的偏导数.
解:
练习2. 设
求
答:
例3. 求偏导数
解:
二元函数偏导数的几何意义:
是曲线
在点 M0 处的切线
对 x 轴的斜率.
在点M0 处的切线
斜率.
是曲线
对 y 轴的
多元函数
的偏导数的偏导数称为
的二阶
的二阶偏导数有四种:
定义3.
二. 高阶偏导数
偏导数。
二元函数
其中
类似可定义更高阶偏导数。
和
称为混合偏导数。
例 4. 设
求
解:
例 5. 设
解:
求
例 5. 设
解:
求
可见
和
未必相等.
定理:
若
和
都在点
处连续,
则
练习3. 设
求二阶偏导数。
练习4. 设
求二阶偏导数。
练习5. 设
求二阶偏导数。
说明:
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
函数在其定义区域内是连续的,
故求初等函数的高阶导
数可以选择方便的求导顺序.
因为初等函数的偏导数仍为初等函数,
而初等
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