第五章 线性反馈系统的时间域综合3.ppt

(1)给出系统的状态方程(2)给出控制量的限制条件(3)明确始端条件:给定 ,固定始端的控制问题;固定, 任意,自由始端的控制问题.(4)明确终端条件:类似于始端条件(5)给出性能指标任务:寻求一个最优控制 ,使系统的状态轨线从初态出发到达 ,且沿此轨线,性能指标最小,即),(uxfx??u)](,[00txt0t)(0tx???fttfdtttutxLtxJ0]),(),([)]([?)(tu?)(tx?)(0tx)(ftx))((min))(()(tuJtuJtu???分类:对u(t)无约束-------泛函求极值问题,变分法对u(t)有约束-------庞特里亚金极大值原理,动态规划离散系统本课程:线性系统LQ问题:二次型性能指标求使],0[,)0(,0fttxxBuAxx?????对称矩阵正定对称矩阵半正定,:,:,)]()()()([21)()(210RQSdttRututQxtxtSxtxJfttTTffT????)(tu?))((min))(()(tuJtuJtu??二. 有限时间LQ调节问题调节问题:受外部动态扰动时,保持x(t)回到零平衡态;有限时间:为有限值;LQ问题:二次型性能指标。定理:系统使性能指标为最小的输入,可由下面的状态反馈解给出其中P(t)ati微分方程的正半定对称解阵ft],0[,)0(,0fttxxBuAxx?????????fttTTffTdttRututQxtxtSxtxJ0)]()()()([21)()(21)()()(1txtPBRtuT?????StPf?)()()()()()(1tPBBRtPQtPAAtPtPTT???????此时,性能指标J的最小值为证明:该定理给出的是充分条件,实际上也是必要条件。0,)0(21000min???xxPxJT?????????????????????????????????ffffftTTTTTtTTTTTTtTTTTTtTTTTtTfffTdtxtPBRuRxtPBRuRuuQxxdtButPxxtPBuxtPBBRtPxQxxdtButPxxtPBuxAtPtPtPAxdtxtPxxtPxxtPxdtxtPxdtdxPxtxtPtx01101000]})([])([{21})()()()({21})()(])()()([{21])()()([21])([21)0()0()0(21)()()(21)0()0()0(21))(()()()(])([])([21)0()0()0(21][21)()()(2110110xPxuJJtxtPBRtudtxtPBRuRxtPBRuxPxdtRuuQxxtxtPtxJTTtTTTTtTTfffTff?????????????????????可见?综上,有限调节时间LQ问题的综合步骤是: (1)A,B,P(tf)=S,Q,ati非线性矩阵微分方程,解出增益矩阵P(t); (2)构造状态反馈此时闭环状态方程为)()()(1txtPBRtuT?????01)0(,)]([xxxtPBBRAxT????????A?CB)(1tPBRT?uxy-?注意:--有限时间LQ调节问题的最优调节系统是状态反馈系统,反馈矩阵是唯一的。--对象系统虽然是定常的,但闭环系统却是时变的。--ati矩阵微分方程是非线性微分方程,难求解析解,可离散计算。--前述的定理也适用时变线性系统。:线性系统性能指标0)0(,xxBuAxx????无约束对称矩阵正定)(;,:,)]()()()([210tuRQdttRututQxtxJTT????寻求最优控制,使初态转移到0,且J最小。无限时间调节问题与有限时间调节问题提法上的区别:(1)此处对象为线性定常系统;(2)不考虑终端指标;(3){A,B}可控。无限调节时间调节器可以看作是终端指标为0,终端时间趋于无穷,受控系统是定常可控的有限调节时间调节器问题。Kalman指出,此时矩阵微分方程的解P(t),当时,P(t)的极限存在且唯一,即常阵P即为无限调节时间调节器的增益矩阵。??ftPtPt???)(ati代数矩阵方程的正定解。P正定(比较有限调节时间时P(t)半正定)一旦求得P,即可得到闭环系统为仍保持为定常系统。对P的要求:最优系统必须是稳定的,即的所有特征值均具负实部。可以证明:以上方法构成的最优闭环系统必是大范围渐近稳定的。01?????PBPBRQPAPATT)()(1tPxBRtuT??????????xPBBRAxT][1][1PBBRAT??