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函数的单调性
如图为上海市2006年元旦24小时内的气温变化图,观察这张气温变化图:
问题1:气温随着时间的推移呈现什么样的变化?
y
x
o
x
y
o
问题2:下面两个函数图像自左向右呈现什么样的变化趋势?
一直上升
先下降,后上升
自变量增大时,函数值增大
自左向右,
上升
问题3:如何用数学符号来表示函数的这种性质呢?
x增大时,f(x)增大
f(x1)
f(x2)
x2
f(x1)
f(x2)
在区间D内,任意取两个自变量x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1) < f(x2)
x1
x2
x1
R
[0,+∞)
增(减)函数的定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于属于I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2:
(1)当x1<x2时,都有f(x1) <f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
(2)当x1<x2时,都有f(x1) >f(x2) ,那么就说f(x)在这个区间上是减函数。
如果函数y=f(x)在定义域I内的某个区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。
在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。
函数单调性的概念
例1、根据图象说出函数的单调区间
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
10
8
6
4
2
-2
0
θ/ ºC
t / h
y=f(x),x∈[0,24]
单调减区间:[0,4]
单调增区间:[4,14]
,[14,24]
经典例题
1、画出下列函数的图象,并写出其
单调区间:
课堂小练
1、画出下列函数的图象,并写出其单调区间:
y
x
o
2
1
2
1
-1
-2
y
x
o
1、画出下列函数图象,并写出单调区间:
能否写成(﹣∞,0)∪(0,+∞)?
对于多个单调区间最好用“,”隔开。
单调减区间为(﹣∞,0),(0,+∞)
例2、证明函数在区间
(0,+ ∞)上是单调增函数。
证明:在区间(0,﹢∞)内任取两个值x1、x2,令x1﹤x2
因为x1>0,x2>0,且x1﹤x2,所以x1-x2﹤0,x1x2>0,那么
即在(0,+∞),对任意的x1、x2,当x1﹤x2时,都有f(x1) <f(x2),所以函数
在区间(0,+ ∞)上是单调增函数。
则
取值
作差
变形
定号
下结论
经典例题