第七章 通信业务源的相位建模法.pdf

《通信网理论基础》《通信网理论基础》
第 7 章
通信业务源的相位建模法
(Phase-type Modeling munication Sources)
2001-4-16 牛志升@清华大学 1
负指数分布的扩展(负指数分布的扩展())––背景背景
? 通过前三章的分析可以看出:负指数分布的无记忆性给
排队系统的分析带来了极大的便利
? 嵌入马尔可夫链法、辅助函数法以及Lindley积分法虽
然能解决大部分非马尔可夫排队系统,但存在下列不足:
? 需要找到合适的嵌入点、辅助函数或状态变量
? 需要引入变换、变换或积分方程式,不但计算复杂,
而且中间推导过程的物理意义不明确
? 只能求出状态变量的统计值,无法得到状态概率分布
? 已经有了很多努力将负指数分布进行扩展,其中包括
? Erlang分布; 超指数分布; Coxian分布
? 实际上有定理证明:任意一个概率分布均可分解为一组
负指数概率分布的组合(R. W. Wolff: “Stochastic Modeling and the Theory
of Queues”, Printice-Hall International, 1989)
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负指数分布的扩展负指数分布的扩展––两个典型例子两个典型例子
K阶爱尔兰分布(负指数
随机变量的算术和)
K阶超指数分布(负指数
随机变量的概率和)
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更一般的相位型概率分布更一般的相位型概率分布
? 1 ? 2
? 3
? 4 ? 5 ? 6
F(t) = ?
? 4
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M/EM/E2/1/1排队系统的解析:相位法排队系统的解析:相位法
? 状态变量:{Nt, Jt }
? Nt: 任意时刻 t 的队列长度(Nt=0,1,2,……)
? Jt: 任意时刻 t 服务器的状态(相位)(Jt=0,1,2) --- 辅助函数
1,1 λ 2,1 λ 3,1 λ
λ
μ1 μ1 μ1
0,0 μ2 μ2 μ2
μ2 1,2 2,2 3,2
λλλ
? 状态转移率(Q)矩阵
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M/EM/E2/1/1排队系统的求解排队系统的求解
?多维马尔可夫过程
? 多维线性方程式组(pQ=0 & pe=1)
? 导入概率母函数使之转化为一维线性方程式
? 求解出状态变量(队列长度)的概率母函数
? 通过微分得出状态变量(队列长度)的矩(moments)
?嵌入马尔可夫过程
? 确定马尔可夫性成立的嵌入点(顾客退去时刻)
? 针对嵌入点建立马尔可夫平衡方程式
? 导入状态变量(退去时刻队列长度)的概率母函数
? 求出队列长度的z变换及其矩(moment)
? 求出等待时间的LST及其矩(moment)
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M/E2/1排队系统的相位分解–准生灭过程的引入
? 生成矩阵的分解
1,1 λ 2,1 λ 3,1 λ
λ
B2
μ1 μ1 μ1
0,0 μ2 μ2 μ2
μ2 1,2 2,2 3,2
λλλ
B0 A1 A1 A1
B2
A0 A0 A0
0 1 2 3
B1 A2 A2 A2
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相位建模与矩阵几何法的引入相位建模与矩阵几何法的引入
? 采用类似于M/M/1的解析手法可以求得状态概率分布
为
? pi=poR^i where pi=(pi1,pi2) ---- Matrix-Geometric
Solution
? 由上述M/E2/1排队系统的分析可以看出,若能将服务
过程内部的相位变化用矩阵形式加以描述(掩盖),
则可以将多维马尔可夫过程转化为一维马尔可夫过程
? 可见,相位解析法的实质就是(三步曲)
? 将顾客的到达过程和服务过程用相位(PH)型概率分布描述
? 将排队系统用准生灭过程描述
? 通过矩阵运算得出排队系统的矩阵几何解
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相位型概率分布与矩阵几何法的历史相位型概率分布与矩阵几何法的历史
?相位分析法的历史由来已久(Ek, Hk, Ck)
?相位型概率分布及其与之相伴随的矩阵几何法
体系是由Prof. M. F. Neuts首次创建的
?在通信系统中得到广泛应用是在1986年之后
(Heffes & Lucantoni 1986年9月在IEEE
J