数列的通项公式求解方法经典.doc

数列的通项公式求解方法经典整理
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一、定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。
:
①等差数列:
1°.定义:若数列称等差数列;
2°.通项公式:
3°.前n项和公式:公式:
②等比数列:
1°.定义若数列(常数),则称等比数列;
2°.通项公式:
3°.前n项和公式:当q=1时
:
①首尾项性质:设数列
1°.若是等差数列,则
2°.若是等比数列,则
②中项及性质:
1°.设a,A,b成等差数列,则A称a、b的等差中项,且
2°.设a,G,b成等比数列,则G称a、b的等比中项,且
③设p、q、r、s为正整数,且
1°. 若是等差数列,则
2°. 若是等比数列,则
④顺次n项和性质:
1°.若是公差为d的等差数列,组成公差为n2d的等差数列;
2°. 若是公差为q的等比数列,组成公差为qn的等比数列.(注意:当q=-1,n为偶数时这个结论不成立)
⑤若是等比数列,
则顺次n项的乘积:组成公比这的等比数列.
⑥若是公差为d的等差数列,
1°.若n为奇数,则而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和);
2°.若n为偶数,则
,前n项和为,且成等比数列,.求数列
的通项公式.
解析:
设数列公差为
∵成等比数列,∴,
即
∵,∴……………………………………①
∵,∴……………②
由①②得:, ∴
点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。
2. 在等差数列;
在各项为正的等比数列。
解析:
0,
:__________;
二、观察法
给出前几项(或用图形给出),求通项公式一般从以下几个方面考虑:
①符号相隔变化用(-1)的n次方来调节。
②分式形式的数列,注意分子、分母分别找通项,并注意分子与分母的联系。
③分别观察奇数项与偶数项的变化规律,用分段函数的形式写出通项。
④观察是否与等差数列和等比数列相联系。
⑤分析相邻项的关系。
⑥如果需要证明,使用数学归纳法。
例: 求以下数列的通项公式
①1/2,4/9,3/8,8/25,5/18,12/49……
②-3,7,-13,21,-31……
③1,4,9,16……
解析:
①:将1/2改成2/4,3/8改成6/16,5/18改成10/36,
原数列就为2/4,4/9,6/16,8/25,10/36,12/49,所以通项公式为an=2n/(n+1)²
②:符号相隔变化用(-1)的n次方来调节,
数列3,7,13,21,31,……的通项公式:后项与前项差为4、6、8、10……,把第一项3分为1+2,数列2、4、6、8、10……,为等差数列,公差d=2,通项:2+2(n-1)=2n,则bn=1+2+4+6+……+2n=1+=n²+n+1
所以an=(-1)n(n²+n+1)
第二种办法:数列3,7,13,21,31,……看作:4-1,9-2,16-3,25-4,36-5,……
所以an= =
③:an=n²
例: 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:由及,得
由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。
(1)当时,,所以等式成立。
(2)假设当时等式成立,即,则当时,
由此可知,当时等式也成立。
根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。
评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。
1. (广东卷)设平面内有n条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,,则_____________;当n>4时,=_____________.
2.(2008·福州检测)图(1),(2),(3),(4)分别包含1,5,13和25个互不重叠的单位正方形,按同样的方式构造图形,则第50个图包含个互不重叠的单位正方形.
3.(2006年广东卷)在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品,
其中第一堆只有一层,就1个乒乓球;第2、3、4、…堆最底层(第一层),每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以表示第n堆的乒乓球总数,则; (答案用含有n的式子表示)
,作边长为的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,,则前个内切圆的面积和为___
解析:
设第个正三角形的内切圆的半径为,因为从第2个正三角形开始,每一个正三角