第十章定积分的应用
曲边梯形的面积
一、直角坐标系情形
曲边梯形的面积
§1平面图形的面积
由左右两条连续曲线x=y(y)、x=j(y)与上下两条直线y=c、 y=d所围成的图形的面积.
O
x
y
c
d
x=y(y)
x=j(y)
由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线
S
x=a、x=b所围成的图形的面积为
例 1 求抛物线
与直线
所围的平面图形的面积
8
y
-1
x
2
O
3
4
4
(9, 3)
(1, -1)
解:求两曲线的交点得:(1,1),(9,3)。将图形向y轴投影得区间[1,3]。
二、参数方程
例2 求摆线
的一拱与
轴所围的平面图形的面积
解可以看出,
对应原点
对应一拱的终点
所以其面积为
椭圆的参数方程
解
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积.
三、极坐标系情形
曲边扇形的面积
面积元素
解
由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积
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