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初中数学的应用问题
主讲:刘小欢
数学应用问题是指运用数学知识解决生活、生产实际问题的一类数学题。
实际数学应用问题主要有:
(1)传统的经典性问题。如行程、工程问题、百分比浓度问题、调配问题、增长率问题等;
(2)课改以来发展性问题。如与生活实际相关联的问题、与价格经济相关的问题、与几何计算、图形运动相关联的问题等。
实际数学应用问题的题型也从封闭式发展为阅读理解题、探究题、开放性命题等多种形式,成为近年来普遍重视的一类数学题。无论是传统题还是新颖题,对初中数学学习来说,都必须学会审题设元、分析等量关系、列出方程或函数解析式、正确化简计算、检验答案的科学性,最后写出明确简洁的答案。
例1、客车和货车同时分别从甲、乙两城沿同一公路相向而行,相遇时货车比客车多行了120千米。客车再经过9小时到达乙城,货车再经过4小时到达甲城。求:
(1)客车、货车的速度;
(2)甲、乙两城间的路程。(要求:先用一种方法完整解答后,再用另一种不同的方法设出未知数,列出方程式或方程组)(1997年宁夏中考题)
分析:可以直接设客车、货车的时速分别为x(千米/时)和y(千米/时)。相遇后,客车行程为9x,货车行程为4y;相遇前,客车行程为4y,货车行程为9x,相遇前两车行驶时间相同,因此建立方程组。
解: 设客车、货车的时速分别为x(千米/时)和y(千米/时),则
 
经检验,它是方程组的解。9x+4y=600千米。
答:客、货车的速度分别是40千米/时、60千米/时。甲、乙两城间路程为600千米。
方法二:如果设甲乙两城间行程2x千米,则相遇时客车行了(x-60)千米,货车行了(x+60)千米,依题意可列方程:
例2 为落实“珍惜和合理利用每一寸土地”的基本国策,某地区计划经过若干年开发“改造后可利用土地”360平方千米。实际施工中,每年比原计划多开发2平方千米,按此进度预计可提前6年完成开发任务,问实际每年可开发多少平方千米?(2002年福州市中考题)
分析:这是一道和课本例题相同的题,但是放在改革大发展的时代背景下叙述,更具有现实意义,解法常规。
解:设实际每年可开发X平方千米。按题意,得:
 
经检验X1=12和X2=-10都是原方程的解,但X2=-10不合题意舍去。
答:实际每年可开发12平方千米。
例3 社区艺术节需用红纸花3000朵,某班全体学生自愿承担这批红花的制作任务。在实际制作时,有10名同学因排练节目而没有参加。这样,参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班平均每人要完成的数量多15朵。这个班级共有多少名同学?
分析:可以直接设元,利用实际每人做的数量比计划每人做的数量多15朵建立等量关系。
解:设这个班共有X名学生。按题意,得
 
经检验它们都是分式方程的根,根据题意舍去负值。
答:这个班级共有50名学生。
,市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固。由于采用新的加固模式,现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米,因而完成此加固工程所需天数比原计划缩短了2天。为进一步缩短该段加固工程的时间,如果要求每天加固224米,那么在现在计划的基础上,每天加固的长度还要再增加多少米?(2004年上海市中考题)
分析:本题需要同学们静下心来读懂题意,搞清楚三个时间节点,原计划——现在计划——实际进度。找出中心句子“现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米,因而完成此加固工程所需天数比原计划缩短了2天”才能正确地布列方程。
即便如此,要完整地解答题目还需要进一步地思考和运算。
,市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固。由于采用新的加固模式,现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米,因而完成此加固工程所需天数比原计划缩短了2天。为进一步缩短该段加固工程的时间,如果要求每天加固224米,那么在现在计划的基础上,每天加固的长度还要再增加多少米?
解:设现在计划每天加固x米,根据题意,得
实际要求每天加固224米,所以再增加224-160=64(米)。
答:在现在计划的基础上,每天加固的长度还要再增加64米。
例5 一桶中装满浓度是20%的盐水40千克,若倒出一部分盐水后,再加入一部分水,倒入水的重量是倒出盐水重量的一半,此时盐水浓度是15%,求倒出盐水多少千克?
分析:可以用倒出盐水后剩下盐水的含盐量与加水后盐水含盐量相等来做等量关系:加水前之盐=加水后之盐。
浓度问题中的基本数量关系为:
溶质(盐)=溶液(盐水)*浓度,
溶液(盐水)=溶剂(水)+溶质(盐)。
解:设倒出x千克盐水,则
  (40-x)*20%=(40-x+)*15%, 解得x=16。
答:倒出盐水16千克。
例6 某电脑公司2000年的各项