河北衡水中学20082009学年度第二学期第二次调研考试.doc

河北衡水中学2008—2009学年度第二学期第二次调研考试
(3)任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好
在线段A1C1上是否存在一个定点Q,使得对任
意的m,D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。
并证明你的结论。
数学参考答案(理科)
ADCBA、CBBAC、DD
二、13. 12
15. 16.
三、解答题
17.(1) (2)
18.
19.(1)
(2)
令
所以展开式中的项为
(3)设第r+1项的系数为tr+1最大,则
所以展开式中系数最大的项为
20.

(2)
(3)
21
22. 解法1:(Ⅰ)连AC,设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点,,连结OG,因为
PC∥平面,平面∩平面APC=OG,
故OG∥PC,所以,OG=PC=.
又AO⊥BD,AO⊥BB1,所以AO⊥平面,
故∠AGO是AP与平面所成的角.
在Rt△AOG中,tanAGO=,即m=.
所以,当m=时,直线AP与平面所成的角的正切值为.
(Ⅱ)可以推测,点Q应当是AICI的中点O1,因为
D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ,所以 D1O1⊥1A1,
1A1,故 D1O1⊥AP.
那么根据三垂线定理知,D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。
解法二:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1)
所以
又由知,为平面的一个法向量。
设AP与平面所成的角为,则。依题意有解得。故当时,直线AP与平面所成的角的正切值为。
(Ⅱ)若在A1C1上存在这样的点Q,设此点的横坐标为,则Q(x,1-,1),。依题意,对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP,等价于D1Q⊥AP即Q为A1C1的中点时,满足题设要求。