§4 二重积分的变量交换
二重积分的变量变换:
;
教学难点:变量变换后积分限的确定.
;
;
2.(广义)极坐标变换;
教学内容:
教学重点:
定积分换元法
一、二重积分换元法
满足
一阶导数连续;
雅可比行列式
(3) 变换
则
定理:
变换:
是一一对应的,
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证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
用平行于坐标轴的
直线分割区域
任取其中一个小矩
形, 其顶点为
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边
形,
其对应顶点为
则
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同理得
当h, k 充分小时,
曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四
边形,
故其面积近似为
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因此面积元素的关系为
从而得二重积分的换元公式:
例如, 直角坐标转化为极坐标时,
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步骤:
⑴根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换;
(4)代入变换替换公式,化为关于u,v的二重积分;
(5)用§2求二重积分化为累次积分的方法求出其值。
题型一:引入变量替换后,化为累次积分;
P242习题3
题型二:作适当的变量替换,计算二重积分。
P242习题4
(3)在变换下确定u,v的范围;
例1. 计算
其中D 是 x 轴 y 轴和直线
所围成的闭域.
解: 令
则
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例2. 计算由
所围成的闭区域 D 的面积 S .
解: 令
则
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1.
O
x
y
P(x,y)
r
2.
适用范围
(1)D为圆域或圆域的一部分;
二、用极坐标计算二重积分
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