§106 Gauss公式.ppt

练面x+z=2 及 z=0截解得的
部分的外侧.
2
z
x
O
y
前面我们将Newton–Lebniz公式推广到了平面区域的情况, 得到了Green公式. 此公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系. 下面我们再把Green公式做进一步推广, 这就是下面将要介绍的Gauss公式, Gauss公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系, 同时Gauss公式也是计算曲面积分的一有效方法.
§ Gauss 公式
定理: 设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成, 函数P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)在上具有一阶连续偏导数, 则有公式:
这里是的整个边界曲面的外侧, cos, cos, cos是上点(x, y, z)处的(外)法向量的方向余弦.
或
一、 Gauss 公式
证明: 首先假设穿过内部且平行于坐标轴的直线与的边界曲面的交点恰好为两个.
设闭区域在xoy面上的投影区域为Dxy.
将曲面分为1, 2和3三部分. 1: z=z1(x, y), 2: z=z2(x, y), 3 :以投影区域的边界曲线为准线,母线平行与坐标轴的柱面上介于上下边界曲面之间的部分.
o
x
y
z
1

2
3
Dxy
根据三重积分的计算法
根据曲面积分的计算法, 1取下侧, 2取上侧, 3取外侧. 则
于是
所以
同理
合并以上三式得
——高斯公式.
Gauss公式的实质:
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
由两类曲面积分之间的关系知:
注1: 若不满足上述条件, 可引进若干张辅助曲面, 将分成几个有限的小区域使之都满足上述条件.
注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值相等, 而符号相反, 相加时正好抵消, 因此上述公式对为一般区域时仍成立.
根据Gauss公式, 用三重积分来计算曲面积分是比较方便的, 但Gauss公式同时也说明, 可用曲面积分来计算三重积分.
注2: Gauss公式成立的条件:
(1) 封闭曲面;
(2) 方向取外侧;
(3) 在上
连续.
例1: 计算曲面积分
二、简单的应用
其中为柱面x2+y2=1及平面z=0, z=3所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.
x
y
z
o
解: 记P(x, y, z)=(y–z)x, Q(x, y, z)=0, R(x, y, z)=(x–y).
根据Gauss公式得,
原式=
(用柱面坐标)
则
例2: 计算
其中为锥面x2+y2=z2介于平面z=0及z=h(h>0)之间的部分的下侧, cos, cos, cos是在点(x, y, z)处的法向量的方向余弦.
x
y
z
o
1: z=h

Dxy
解: 曲面在xoy面上的投影区域为Dxy: x2+y2h2.
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式, 补充曲面1: z=h, 并取上侧.
+1构成封闭曲面, 其围成的空间区域记为, 在上应用高斯公式:
由的对称性知:

所以
而
所以