第5章-相似矩阵和二次型(第十三课)..ppt

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第5章相似矩阵及二次型
关于特征值和特征向量的讨论
用正交变换化二次型为标准形
(或用正交矩阵化对称阵为对角阵)
本章讨论
向量的内积
特征值和特征向量
相似矩阵
二次型的化简
本章重点
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§2 方阵的特征值和特征向量
定义设 A为 n 阶方阵,如果数λ和 n 维非零向量 x,
使关系式
成立,则称数λ为方阵 A 的特征值,非零向量 x为 A 的
对应于λ的特征向量.
注由定义可知:
1) 若 p 是 A 的对应于λ的特征向量, 则 kp (k≠0) 也
是 A 的对应于λ的特征向量.
2) 若 p1, p2 皆是 A 的对应于λ的特征向量, 则 p1+p2
( p1+p2 ≠ 0) 也是 A 的对应于λ的特征向量.
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问题: 给定方阵A, 如何去求A的特征值及特征向量?
这是 n个未知数 n 个方程的齐次线性方程组,由克莱姆
法则知其有非零解的充要条件是系数行列式
即
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由代数学基本定理:在复数范围内,n 次方程一定
有 n 个根(重根按重数计算). 故知有
结论 n 阶方阵 A 一定有n 个特征值.
称其为方阵 A 的特征多项式.
这是一个关于λ的一元 n 次多项式.
上式是关于λ的一元 n 次方程, 称其为 A 的特征方程,显然 A 的特征值即为特征方程的解.
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通常,称
为A的迹,记为 tr(A).
即,求对应的特征向量归结为解一个线性方程组.
设A 的特征值为
由多项式的根与系数
之间的关系知:
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1) 解特征方程
2) 对每个特征值
总结:n 阶方阵A的特征值、特征向量的求法:
得到 A 的全部特征值.
(注意共有 n 个特征值)
求出齐次线性方程组
的基础解系,它们就是 A 的对应于
的线性无关的特征向量.
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例(教材P122例4)
求三阶矩阵
的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
故得A的三个特征值为
对于
解齐次线性方程组(2E -A)x= 0 ,
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系数
矩阵
同解方
程组为
取基础
解系
则ξ1就是 A 的属于λ1 =2的特征向量, 而
就是 A 的属于λ1 =2的全部特征向量.
例(教材P122例4)
求三阶矩阵
的特征值和特征向量.
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对于
解齐次线性方程组(E -A)x = 0 ,
系数
矩阵
同解方
程组为
取基础
解系
则ξ2就是 A的属于λ2 = λ3 =1的特征向量, 而
就是 A的属于λ2 = λ3 =1的全部特征向量.
注意:
这里基
础解系
只含一
个向量
例(教材P122例4)
求三阶矩阵
的特征值和特征向量.
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例(教材P123例5)
求三阶矩阵
的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
故得A的三个特征值为
对于
解齐次线性方程组(5E -A)x= 0 ,