第六章
利用元素法解决:
定积分在几何上的应用
定积分在物理上的应用
定积分的应用
表示为
一、什么问题可以用定积分解决?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的
2) U 对区间[a , b] 具有可加性,
即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
定积分定义
一个整体量;
二、如何应用定积分解决问题?
第一步利用“化整为零, 以常代变”求出局部量的
微分表达式
第二步利用“积零为整, 无限累加”求出整体量的
积分表达式
这种分析方法成为元素法(或微元分析法)
近似值
精确值
三、已知平行截面面积函数的
立体体积
第二节
一、平面图形的面积
二、平面曲线的弧长
定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
右下图所示图形面积为
例1. 计算两条抛物线
在第一象限所围
所围图形的面积.
解: 由
得交点
例2. 计算抛物线
与直线
的面积.
解: 由
得交点
所围图形
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
例3. 求椭圆
解: 利用对称性,
所围图形的面积.
有
利用椭圆的参数方程
应用定积分换元法得
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积.
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
对应从 0 变
例5. 计算阿基米德螺线
解:
到 2所围图形面积.
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