第五章相似矩阵及 二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
定义1:设 n 维向量
记作
称
为向量 x与 y的内积,
内积有下列性质:
(1) [ x, y ] = [ y, x ];
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
(4) [ x, x ] > 0, x ≠ 0; [ x, x ] = 0, x = 0.
柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式:
定义2:称为向量 x 的长度,记作
特别地,当
时,称 x为单位向量。
向量长度有下列性质:
(1) || x || > 0, x ≠ 0; || x || = 0, x = 0;
(2) ||lx || = |l| || x|| ;
(3) || x + y || ≤|| x || + || y||;
称
为向量 x与 y的夹角。
若 q = 900 , 则称向量 x与 y 正交,记作 x⊥ y 。
x⊥ y [ x, y ] = 0
设
定理1:若向量组
中不含零向量,且两两正交,
则向量组
线性无关。
设
例1:设在向量空间
中,
求向量
,使得
两两正交。
解:设
解线性方程组
则解向量必与
都正交,
得
基础解系
取
,则
两两正交。
定义 3. 设 n 维向量是向量空间 V 的
一个基,若两两正交,且
都是
单位向量,则称是V 的一个
规范正交基(标准正交基).
施密特( Schimidt ) 正交化过程:
使得
与
等价。
求正交向量组
设向量组
线性无关,
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