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人在睡眠时气管中气流 何时流速最大
设表示气管的“休息半径”即一个人在休息(而不是睡着)时的气管的半径,我们用厘米来计量它, 表示睡眠时的气管半径( ); 表示从收缩到时气管中空气的平均流速。在对靠近关闭的气流(我们假定它是很慢的)以及管壁的弹性(假设是“完全”的)作一些合理的假设后,我们可以用方程
来模拟睡眠中的气流速度,其中是一个常数,它依赖于气管壁的厚度。
现在如果一个人开始熟睡,则可以期望他的气管以使得呼出的气流的速度为最大的方式收缩。求证:当气管半径收缩三分
之一(即)时达到最大。这
事实已基本上被睡眠时用X光拍摄的照片所证实。
解:
这是一个极值问题,先求
的极值点
令
即
解得
当
时,
当
时,
是
的最大值点,即当气管半径
收缩时, 达到最大值。
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