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一道习题的推广及应用
西铁一中杨鹏飞
已知F为抛物线(p>0)的焦点,过F作直线与抛物线交于A,B两点,以A、B为切点分别作抛物线的切线L1和L2,切线L1和L2交于点P,求
点P的轨迹方程;2)若三角形PAB的面积的最小值为16,求抛物线方程。
解:1)如图:
设A(x1,y1)B(x2,y2) ,直线AB的方程…①
由得所以
将方程代入得:
所以以A为切点的切线方程为:…②
所以以B为切点的切线方程为:…③
联立②③求得:,
所以 P的轨迹
2)
所以
所以:

所以
当且仅当k=0时取等号,所以
所以所求抛物线方程为
从此题的解答中我们有如下发现:
P点坐标的特殊性,其横坐标为,恰为A,B两点的重点的横坐标;其纵坐标为定值,其轨迹恰为准线。
AB⊥FP,这个特殊的位置关系为我们提供了研究该抛物线的切线提供了依据。
我们以此为题根,更好的解决其它问题。
例题:(2006年全国Ⅱ)
已知抛物线的焦点为F,A、B是抛物线上两个动点,且
(λ>0),过A、B分别作抛物线的切线,设其交点为M。
证明为定值。
设三角形ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求出S的最小值。
解:分析: 由题根显然有:(下证之)
设:AB
因为,所以设直线AB:
将直线代入得:
所以…③
由得:,所以
所以A处的切线为:…①
所以B处的切线为:…②
由方程①②解得:,
所以:,
所以:
2)

(此步之前均属于题根,不需考虑)
因为,所以…④
由③④得:
当且仅当时取得最小值4.
小结:在题根的前提下解决此题,大大降低思维难度,因此我们做题要多一些思考,多形成一般性的结论。
如果我们把条件中的过焦点F改为过Y轴上的定点N(0,m),那么两条切线的交点P的坐标有何变化?
已知抛物线,直线l过定点N(o,m),交抛物线于A、B两点,过A、B两点分别作抛物线的切线,两线交于P点。
解:设:AB 设直线AB:
代入得
所以
由得:,所以
所以A处的切线为:…①
所以B处的切线为:…②
由方程①②解得:,
由此可见,交点P的横坐标不变,其纵坐标成规律性变化,与其过的定点N(0,m)相关联。但此时AB与PN不再垂直。
由上述解答我们发现,交点P的横坐标不变,并与A、B两点的终点坐标一致,这给我们提供了抛物线的切线的尺规作图方法:
对于抛物线上任一点P(非顶点),过P任作直线l交Y轴于M(0,m),
交抛物线于Q,在做直线y=-m,由P、Q分别向直线y=-m作垂线,垂足分别为P1、Q1,
再取P1Q1的中点N,连接PN,则直线PN为所求切线。
无独有偶,2007年江苏卷的第19题便考到此问题。
A
B
C
P
Q
O
x
y
l
19 (本题满分14分)
如图,在