定积分-.ppt

第3节积分
一、定积分的概念和性质
1.“直线形”平面图形的面积求法
容易求积的基本图形有:矩形,梯形,三角形
具直线段边界的平面图形面积的求法
——化成容易求积的基本图形
——归结为三角形面积之和
称三角形为直线形图形的“基元图形”
(basic element graph)
①什么是“曲线形”图形的“基元图形”?
②如何定义“基元图形”的“面积”才合理?
▲任一“直线形”图形可划分成
有限个“基元图形”的“并”
▲定义基元图形的“面积”
问题:“曲线形”图形如何求面积?
求得面积
——曲边梯形
(1)曲线形的分解——曲边梯形的概念
用两组互相垂直的平行线“分割”曲线形
分割后的小块,有两种情况:
①矩形
——归结为已能求面积的图形
②由一条曲线和三条直边组成
的图形
——这种图形称为“曲边梯形”
“曲边梯形”是曲线形的基元图形
(2)曲边梯形在直角坐标系中的表示
设曲边梯形为S,把S中与曲边相对的直边放在x轴上
曲边梯形由下列方程代表的曲(直)线所围成

求曲边梯形的面积即
求下的面积( )
——分成很窄的小曲边梯形,
然后用矩形面积代后求和。
若“梯形”很窄,可近似地用矩形面积代替
在不很窄时怎么办?
——以直代曲
(3)求和
把这些矩形面积相加
作为整个曲边梯形面积S的近似值。
(1)分割
在间插入个分点:
作平行于y轴直线
将曲边梯形分成n个小曲边梯形。
在每个小区间上任取一点,
用矩形的面积来近似小曲边梯形面积。
(2)取近似
(4)取极限
有理由相信,分点越来越密时,即分割越来越细时,矩形面积和的极限即为曲边梯形的面积。
所以,为了求曲边梯形的面积,就要研究这个特殊和式的极限,这就是定积分。

是定义在上的函数,在中任意插入分点,将分成n个小区间,记, ,对,若和式极限
对任一分割,任意均存在,则称在可积,或说是上的可积函数(integrable fun.),并把这个极限值记为,称其为函数从a到b的定积分(definite integral)。

此时称为被积函数(integrand)
:积分区间(integral interval)
a:积分下限(upper bound)
b:积分上限(lower bound)
x:积分变量(integral variable)
:被积表达式
定积分的几何意义
若的图形在x轴上方,即
即曲边梯形的面积A
若
称为曲边梯形的“代数面积”