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§3 相似矩阵与方阵对角化
本章中心:
使二次型
转换为标准形
正交变换
复习:
本章结构:
二次型的定义及矩阵表示
正交向量组
特征值与特征向量
方阵对角化的充要条件
对称方阵对角化
二次型化标准型
本节目的与要求:
(1)理解相似矩阵的概念与性质;
(2)会利用相似矩阵性质解决一些简单问题;
(3)理解方阵对角化的充要条件;
(4)了解实对称矩阵的特征值、特征向量的性质;
(5)会用正交变换法将实对称矩阵化为对角阵。
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设 A,B都是 n 阶矩阵,
可逆矩阵P,使得
若有
则
称可逆矩阵P 为把A 变成B的相似变换矩阵.
称矩阵 A 与 B 相似,
称
为对A进行相似变换(运算).
二、相似矩阵与相似变换的性质
1. 相似关系是等价关系
k个
5.
定理1
相似矩阵有相同的行列式
相似矩阵有相同的特征多项式
相似矩阵有相同的特征值
三、方阵A可对角化定义:
推论若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵
相似,
称A
可对角化
利用对角矩阵计算矩阵多项式
利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式
四、方阵可对角化的充要条件
n 阶矩阵A可对角化
A有n 个线性无关的特征向量.
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