导数的几何意义---上课课件.ppt

定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作:
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由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:
下面来看导数的几何意义:
β
y=f(x)
P
Q
M
Δx
Δy
O
x
y
β
P
y=f(x)
Q
M
Δx
Δy
O
x
y
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
倾斜角.
斜率!
P
Q
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即:
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
即:
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
Q
P
y
=
x
2
+1
x
y
-
1
1
1
O
j
M
D
y
D
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
(1)求出函数在点x0处的变化率,
得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,
即
求切线方程的步骤:
即点P处的切线的斜率等于2.
(2)在点P处的切线方程是y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.