4-3 相似矩阵.ppt

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一、相似矩阵与相似变换的概念
二、相似矩阵的性质
三、矩阵与对角矩阵相似的条件
四、矩阵对角化的步骤
五、矩阵对角化的应用
六、小结
§ 相似矩阵
定义1
使
一、相似矩阵与相似变换的概念
设
都是
阶矩阵,
若存在可逆矩阵
则称
是
的相似矩阵,
并称矩阵A与B相似.
对
进行
运算称为对
进行相似变换,
逆矩阵
称为把
变成
的相似变换矩阵.
注:
,
满足:
(1) 反身性
(2) 对称性
则 B 与 A 相似;
可
(3) 传递性
B 与 C 相似,
则 A与C相似.
若 A 与 B 相似,
若 A 与 B 相似,
阶矩阵A,
A 与 A 相似;
对任意
定义1
使
一、相似矩阵与相似变换的概念
设
都是
阶矩阵,
若存在可逆矩阵
则称
是
的相似矩阵,
并称矩阵A与B相似.
注:
,
满足:
(1) 反身性
(2) 对称性
则 B 与 A 相似;
(3) 传递性
B 与 C 相似,
则 A与C相似.
若 A 与 B 相似,
若 A 与 B 相似,
阶矩阵A,
A 与 A 相似;
对任意
:
其中
为任意常数.
例
1
设有矩阵
试验证存
在可逆矩阵
使得与相似.
证
易见可逆,
由
故与相似.
且
定理 1
多项式相同,
二、相似矩阵的性质
证:
若
阶矩阵
相似,
与
从而
与
特征值亦相同.
与
相似,
使得
故
可逆矩阵
与
即
有相同的特征多项式,
从而有相同的特征
则
与
的特征
值.
定理 1
多项式相同,
若
阶矩阵
相似,
与
从而
与
特征值亦相同.
则
与
的特征
如对例1中的矩阵,
由
易见它们有相同的特征值
相似矩阵的其它性质:
;
提示:
相似矩阵一定等价,
而等价的矩阵具有相同
的秩.
;
提示:
与
相似
即得.
两边取行列式
,
当它们可逆时,
它们的逆矩阵也相似.
则
相似矩阵的其它性质:
;
;
,
当它们可逆时,
它们的逆矩阵也相似.
则
故
与
具有相同的可逆性;
与
若
相似且都可逆,
非奇异矩阵
则
使
于是
即
相似.
与
证毕.
证
与
相似
阶矩阵
设
三、矩阵与对角矩阵相似的条件
定理 2
阶矩阵
与对角矩阵
有
个线性无关的特征向量.
证
若
相似,
与
可逆矩阵
则
使得
设
则由
得
相似的充分必要条件为矩阵
A
必要性
即
定理 2
阶矩阵
与对角矩阵
有
个线性无关的特征向量.
证
相似的充分必要条件为矩阵
A
必要性
可逆
都是非零向量,
且它们线性无关.
故
的特征向量,
都是
充分性
设
为
的
个线性无关的特征
向量,
它们对应的特征值为
则有