动态规划-最长公共子序列.doc

问题描述
一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。确切地说,若给定序列X=<x1, x2,…, xm>,则另一序列Z=<z1, z2,…, zk>是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列<i1, i2,…, ik>,使得对于所有j=1,2,…,k有Xij =Zj
例如,序列Z=<B,C,D,B>是序列X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列,相应的递增下标序列为<2,3,5,7>。给定两个序列X和Y,当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时,称Z是序列X和Y的公共子序列。例如,若X=<A, B, C, B, D, A, B>和Y=<B, D, C, A, B, A>,则序列<B, C, A>是X和Y的一个公共子序列,序列<B, C, B, A>也是X和Y的一个公共子序列。而且,后者是X和Y的一个最长公共子序列,因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。
最长公共子序列(LCS)问题:给定两个序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>,要求找出X和Y的一个最长公共子序列。
动态规划算法可有效地解此问题。
下面我们按照动态规划算法设计的各个步骤来设计一个解此问题的有效算法。
最长公共子序列的结构
解最长公共子序列问题时最容易想到的算法是穷举搜索法,即对X的每一个子序列,检查它是否也是Y的子序列,从而确定它是否为X和Y的公共子序列,并且在检查过程中选出最长的公共子序列。X的所有子序列都检查过后即可求出X和Y的最长公共子序列。X的一个子序列相应于下标序列{1, 2, …, m}的一个子序列,因此,X共有2m个不同子序列,从而穷举搜索法需要指数时间。
事实上,最长公共子序列问题也有最优子结构性质,因为我们有如下定理:
定理: LCS的最优子结构性质
设序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的一个最长公共子序列Z=<z1, z2,…, zk>,则:
若xm=yn,则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列;
若xm≠yn且zk≠xm ,则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列;
若xm≠yn且zk≠yn ,则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
其中Xm-1=<x1, x2, …, xm-1>,Yn-1=<y1, y2, …, yn-1>,Zk-1=<z1, z2, …, zk-1>。
证明
用反证法。若zk≠xm,则<z1, z2, …, zk ,xm >是X和Y的长度为k十1的公共子序列。这与Z是X和Y的一个最长公共子序列矛盾。因此,必有zk=xm=yn。由此可知Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个长度为k-1的公共子序列。若Xm-1和Yn-1有一个长度大于k-1的公共子序列W,则将xm加在其尾部将产生X和Y的一个长度大于k的公共子序列。此为矛盾。故Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个最长公共子序列。
由于zk≠xm,Z是Xm-1和Y的一个公共子序列。若Xm-1和Y有一个长度大于k的公共子序列W,则W也是X和Y的一个长度大于k的公共子序列。这与Z是X和Y的一个最长公共子序列矛盾。由此即知Z是Xm-1和Y的一个最长公共子序列。
这个定理告诉我们,两个序列的最长公共子序列包含了这两个序列的前缀的最长公共子序列。因此,最长公共子