3.3高等数学课件.ppt

一、函数的和、差、积、商的求导法则
二、复合函数的导数
三、反函数的导数
四、隐函数的导数
§ 导数的基本公式与运算法则
五、取对数求导法
六、导数公式小结
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一、函数的和、差、积、商的求导法则
如果u(x)、v(x)都是x的可导函数,则u(x)与v(x)的和、差、积、商(分母不为零时)也是x的可导函数, 并且
和差公式的推广:
(u1+u2+ +u n)= u1+u2+ +u n。
乘积公式的推广:
(u1u2un)=u1u2  un+u1u2 un+ + u1u2  un。
特别地,当u=c(c为常数)时,有 y=(c u)=c u。
[u(x)v(x)]=u(x)v(x),>>>
[u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x),>>>
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证明商的导数公式
(uv)=uv, (uv)=uv+uv,
=x3-5的导数。
=(1+2x)(3x3-2x2)的导数。
解:y=(x3-5)
=(x3)-(5)
=3x2-0=3x2。
解:y
+(1+2x)(3x3-2x2)
=2(3x3-2x2)+(1+2x)(9x2-4x)
=24x3-3x2-4x。
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=(1+2x)(3x3-2x2)
(uv)=uv, (uv)=uv+uv,
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解:
例3.
正切余切、正割余割函数的导数:
tan x 的导数。
类似地可求得
(cot x)=-csc2x,(sec x)=sec xtan x,(csc x)=-csc xcot x.
解:
(uv)=uv, (uv)=uv+uv,
练习:12(1, 2, 4, 6, 8),13(1, 2, 5, 9),14(2, 4, 6)。
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(tan x)
二、复合函数的导数
所以当x0时,u0。于是
若u=j(x)在点x处可导,y=f(u)在对应点u=j(x)处可导,则复合函数y=f[j(x)]的导数为
简要证明:
因为可导函数u=j(x)是连续的,
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复合函数的求导法则:
=(1+2x)30的导数。
解:设y=u 30,u=1+2x,则由复合函数求导公式得
解:设y=ln u,u=sin x,则
=lnsin x的导数。
=60(1+2x)29。
y=yuux
=30u 29
=60u 29
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2
复合函数的求导法则:
=cos nx的导数。
解:设y=cos u,u=nx,则
y=yuux
=-sin u
=-nsin nx。
在熟练之后中间变量不必写出。
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解:
例8.
n
复合函数的求导法则:
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解:
例9.