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函数的单调性2
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
如果对于区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有
(x1 ) f(x2 ) f (x)在区间D上是增函数,
<
定义
2. f(x1 ) > f(x2 )
f (x)在区间D上是减函数
用定义证明函数单调性的步骤是:
(1)取值
(2)作差变形
(3)定号
(4)判断
根据单调性的定义得结论
即取是该区间内的任意两个值且
即求,通过因式分解、配方、有理化等方法
即根据给定的区间和的符号的确定
的符号
例1. 指出下列函数的单调区间:
解:
无单调减区间
无单调增区间
归纳:函数的单调性
单调增区间
单调减区间
K>0
K<0
y
o
x
2
2
o
4
y
x
归纳: 函数的单调性
_______;
_______.
:
x
y
y=-x2+2
1
-1
1
2
2
-1
-2
-2
O
思考2:函数的单调区间呢?
思考1:函数的单调区间呢?
解:
单调增区间
单调减区间
a>0
a<0
的对称轴为
例3. 指出下列函数的单调区间:
_____________
,
x
y
O
思考1:
思考2:函数的单调区间是什么?
的单调增区间是
归纳: 在和上的单调性?
解:
没有单调增区间
单调增区间
单调减区间
的单调区间
,
,
(1)
随堂练习
?
(2)
(1)单调减区间
(2)单调减区间
单调增区间
(3)单调增区间
,
(3)
例5 画出函数f(x)=3x+2的图像,判断它的单调性,并加以证明.
解作出f(x)=3x+,函数的图在R上是上升的,函数是R上的增函数.
所以 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)
=3(x1-x2),
O 1 2 x
2
1
5
4
3
y
y=3x+2
例题讲解
任取x1,x2∈R,设x1<x2,
取值
作差
变形
定号
即 f(x1)<f(x2)
单调函数的定义可知,函数f(x)=3x+2是R上的增函数.
证明:
判断下结论