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五、数列
一、数列定义:
数列是按照一定次序排列的一列数,那么它就必定有开头的数,有相继的第二个数,有第三个数,……,于是数列中的每一个数都对应一个序号;反过来,每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此,数列就是定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数,当自变量从1开始由小到大依次取正整数时,相对应的一列函数值为; 通常用代替,于是数列的一般形式常记为或简记为,其中表示数列的通项。
注意:(1)与是不同的概念,表示数列,而表示的是数列的第项;
(2)数列的项与它的项数是不同的概念,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,它是一个函数值;而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值。
(3)和之间的关系:
如:已知的满足,求。
二、等差数列、等比数列的性质:
等差数列
等比数列
定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫等差数列
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列
公差(比)
,或
;
,或
();
通项公式

=

求和公式
由倒序相加法推得
=
由错项相减法推得
①, =
②,
用函数的思想理解通项公式
若为等差数列,则, ;
若为等比数列,则, ;
等差数列的图象是直线上的均匀排开的一群孤立的点
用函数的思想理解求和公式
等差数列,,
则; ; ;
若,说明: ;
在二次函数的图象上,是一群孤立的点。
若为等比数列,,则; ; ;
(其中的系数与为互为相反数,这是公式一很重要特点,注意前提条件。)
若,说明: ;
等比数列,,则;
增减性
为递增数列;
为递减数列;
为常数列。
为递增数列;
为递减数列;
为常数列;
为摆动数列;
等差(比)中项
任意两个数有且只有一个等差中项,即为;两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。
两个数的等比中项为;()
等差(比)数列的性质
若,则_______ _____;
特别当,则;
若,则__________ __;
特别当,则;
在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列,但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列。
如:;问公差为
在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等比数列,剩下的项按原顺序构成的数列也不一定是等比数列。
如:;问公比为
是数列;公差为;
成等差数列。
是数列;公差为;
是数列;公比为;
是数列;公比为;
是数列;公比为;
若数列与均为等差数列,则仍为等差数列,公差为;
若数列与均为等差数列,则仍为等比数列,公比为;
仍为等比数列,公比为;
如:(1)在等差数列中,,则;
(2)在等比数列中,,则;
另外,等差数列中还有以下性质须注意:
(1)等差数列中,若,则;
(2)等差数列中,若,则;
(3)等差数列中,若,则; ;
(4)若,则时,最大。
(5)若与均为等差数列,且前n项和分别为与,
则;
(6)项数为偶数的等差数列,有(与为中间的两项)
; ;
项数为奇数的等差数列,有(为中间项)
; ; ;
等比数列中还有以下性质须