函数的单调性.ppt

函数的单调性
x
y
x
y
y
x
x
x
x
y
y
y
2
- 1
-2
-2
函数值随着自变量x
的增大而增大
函数值随着自变量x
的增大而减小
函数的单调性
x
0
1
-1
2
-2
…
y
0
1
1
4
4
…
x
0
1
-1
2
-2
…
y
0
1
-1
8
-8
…
1)图象在y轴右侧随着x
的增加,y的值在增加
2)图象在y轴左侧随着x
的增加,y的值在减小
函数值随着自变量x
的增大而增大
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的
值 x1 ,x2当 x1 < x2 时,都有f(x1)< f(x2) ,
那么就说在这个区间上是增函数。
一般的,设函数的定义域为I:
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的
值 x1 ,x2当 x1 < x2 时,都有 f(x1)> f(x2) ,
那么就说在这个区间上是减函数。
如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或是减函
数,那么就是说函数 y=f(x) 在这个区间具有严
格的单调性,这一区间叫做单调区间。
注:
(1)函数的单调性也叫函数的增减性
(2)函数的单调性是对定义域内的某个子区间而言
(3) x1 ,x2 的三个特征:任意性、有大小、同区间
(二次函数演示)
注意:
(减)函数都是对相应的区间而言的,离开了区间就谈不上增(减)函数。
如:能不能不要区间,说某函数是增函数?或说某函数是减函数?如说是增函数或减函数。
2. 任意是指不能取特定值来判断函数是增函数或减函数
例如,
有
∴得, 在上是增函数,
反之,若已知在某区间上是增函数或是减函数
1).可通过自变量大小判断函数值的大小。
2).可通过函数值大小判断自变量大小。
1
2
3
-1
-2
0
4
9
取, ,
对吗?
在上,
x
例1、如图,是定义在区间[-4,3]上的函数的图象,根据图象
说出的单调区间,以及在每个单调区间上, 是增函数
还是减函数。
解:函数的单调区间有
[-4,-2),
[-2,1),
[1,2),
[2,3]
其中在区间[-4,-2), [1,2)上是减函数,
在区间[-2,1),[2,3]上
是增函数
。
证明:
设x1,x2是上的任意两个实数,且,则
由得
又因为得,
于是
即
所以在上是减函数
证明步骤:
1. 设x1,x2在某一区间上任一个量且
2. 论证或
论证步骤
1).作差
2).变形
3).判断正负得到大小
3. 根据定义得到结论。
⑴配方⑵因式分解⑶通分
x
y
-1
1
-4
,说出函数的单调区间及各单调区间上是增函数或减函数?
解:
函数单调区间是, ;
在上是减函数;
在上是增函数;
证明:
在上是增函数;
证:
设
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
在上是增函数;