精品-北航2004北航博士研究生数值分析真题.pdf

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北京航天航空大学 2004 年博士研究生数值分析真题
盛世清北心
一. 填空题:(每小题 4 分,共 20 分)
2 *
1. 设ϕ(x) = x +α(x − 5) ,要使迭代法 xn+1 = ϕ(xn ) 产生的序列收敛到 x = 5 ,若
取迭代区间[2 , 3] ,则α取值范围是。
⎡1 −1⎤
2. 设 A = ,则 A = , A = 。
⎢⎥ 1 2
⎣2 3 ⎦
⎧ x1 + ax2 = 4
3. 用 Gauss-Seidel 法解线性方程组⎨,其中 a 为实数,方法收敛的充
⎩2ax1 + x2 = −3
要条件是 a 满足。

4. 若用复化梯形公式计算积分 e −x dx ,区间[0 , ] 应等分为 n = 个小区
∫0
1
间,才能使截断误差不超过×10−4 。
2
5. 解初值问题 y′= f (x, y) , y(0) = y0 的 Euler 法,局部截断误差是。
⎡4 1 2 ⎤⎡x1 ⎤⎡−1⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
一、( 12 分)设有线性方程组 4 5 − 4 x = 3 ,
⎢⎥⎢ 2 ⎥⎢⎥
⎣⎢8 − 4 22 ⎦⎥⎣⎢x3 ⎦⎥⎣⎢10⎦⎥
1. 将系数矩阵 A 分解为 A=LU ,求 L, U; 2. 解线性方程组 Ax=b 。
二、( 15 分)
1. 已知数据:
x
i
Inx
i - - -
试用二次插值计算 的近似值,并估计误差。
2. 设被插值函数 f (x) 具有四阶连续导数,求三次插值多项式 H (x)使得
H (−1) = f (−1) = , H (0) = f (0) = 1, H (1) = f (1) = , H ′(0) = f ′(0) = 0 ,并对
任一 x ∈[−1,1]写出误差估计式。
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⎡ 2 −1 1⎤
三、( 分)设线性方程组的系数矩阵⎢⎥,右端项
10 Ax=b A = ⎢ 2 2 2⎥
⎣⎢−1 −1 2⎦⎥
⎡ 5 ⎤
⎢⎥,若分别用法及法迭代求解,是否收敛?并写出收敛
b = ⎢−1⎥ Jacobi Gauss-Seidel
⎣⎢−1⎦⎥
的迭代计算公式。
1 x
四、( 8 分)选一复化求积公式计算积分 I = dx 的近似值,要求误差小
∫0 4 + x 2
于 10−5 。
五、( 10 分)确定 A0 , A1 , A2 ,和 x1 ,使求积公式
1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞