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弗赖登塔尔谈数学学习方法
作为著名的数学家和数学教育家,弗赖登塔尔在谈到数学学习方法时,反复强调:学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”,也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来;教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作,而不是把现成的知识灌输给学生。他认为这是一种最自然的、最有效的学习方法。
说它最自然,是因为生物学上“个体发展过程是群体发展过程的重现”这条原理在数学学习上也是成立的,即;数学发展的历程也应在个人身上重现,这才符合人的认识规律。数学在其发展中,走过漫长而曲折的道路,它不断地修正过自己的进程,避开过弯路,绕过死胡同,重新明确前进的方向。像这样的历程是不必让它在学生身上重现的。弗赖登塔尔说,他所说的“再创造”是指应该使学生体验到:如果当时的人有幸具备了我们现在有了的知识,他们是怎样把那些知识创造出来的。说这种方法最有效,是因为只有通过自己的再创造而获得的知识才真被掌握;和可以灵活应用;而更为重要的是,数学是人的一种活动,如同游泳一样,要在游泳中学会游泳,我们也必须在做数学中学习数学,也就是在创造数学中学习数学。弗赖登塔尔指出,搞数学研究的人就是用再创造的方法去阅读别人的论文的。
关于再创造学习方法的重要性,弗赖登塔尔还从另外的角度去加以阐述。他经常指出:数学家向来都不是按照他创造数学的思维过程去叙述他的工作成果,而是恰好相反,把思维过程顛倒过来,把结果作为出发点,去把其他的东西推导出来。弗赖登塔尔把这种叙述方法称为
“教学法的颠倒”指出了这种顛倒掩盖了创造的思维过程,如果学习者不实行再创造,他对学习的内容就难以真正的理解,更谈不上灵活应用了。他喜欢举的例子是皮亚诺(Peano)的自然数公理系(虽然他说在初等数学里,这种例子也比比皆是)。
他说在这个公理系中数学归纳法占有关键地位;但数学归纳法在古代便已被人们直观地使用了(例如,在证明a^{m}a^{n}=a^{m+n}
中)。到了17世纪,帕斯卡(Pascal)在研究二项系数而建立“帕斯卡三角”(中国数学家杨辉早在13世纪便建立了这个“三角”比帕斯卡早了近四百年)时,发现了这条原理,并且相当清晰地叙述了它;18世纪初,詹姆士-贝努利(J. Bernoulli)再一次独立地发现了它;其后是德国数学家克斯特纳(A. Kästner,1719—1800)用比较抽象的形式叙述了它,然后是皮亚诺用抽象的形式把它嵌入到他的公理系中去。这是数学归纳法的历史发展过程。但是大多数教科书不讲这些,而是颠倒过来,把皮亚诺公理系作为起点,由它推出数学归纳法,然后把归纳法用到具体的问题上去。弗赖登塔尔认为,学习数学归納法的正确途径是,向学生提出一些必须用数学归纳法才能解决的问