圆面覆盖.doc

一道中考模拟题的教学设计
——邓达
原题目如下:
某课题学习小组在探讨一团周长为(为大于0的常数)的线圈时,发现了如下两个问题:
命题1:如图1,当线圈做成正三角形ABC时,能被半径为的圆形纸片完全盖住。
命题2:如图2,当线圈做成正方形ABCD时,能被半径为的圆形纸片完全盖住。
请你继续探究下列几个问题:
如图3,当线圈做成正五边形ABCDE时,请说明能被半径为的圆形纸片完全盖住;
如图4,当线圈做成平行四边形ABCD时,能否被半径为的圆形纸片完全盖住?请说明理由;
如图5,当线圈做成任意形状的图形时,是否还能被半径为的圆形纸片完全盖住?若能盖住,请通过计算说明;若不能盖住,请你说明理由。
图1
图2
图3
图4
图5

这道中考模拟题,把定长为的细绳,围成各种封闭的几何图形,并均满足结论:被半径为的圆所覆盖。题目直接给出了两个真命题,即当围成正三角形和正方形时,被半径为的圆所覆盖的结论是成立的。然后直接到围成正五边形,这样的起点太高,证明的难度较大,且无迹可寻,再过渡到任意的平行四边形,进而到任意形状的封闭图形。这就会造成学生对题目理解上的难度,得分情况就很不理想了。为了突破本题的难点,我尝试了以下的教学构思。
图6
题目:已知一条长为的细绳,把它围成一个正三角形。问:它能否被半径为的圆所覆盖?(学生给出解答)
如图6,过外接圆的圆心,作,连接。
由题意可知:,,,
则,。
结论就成立了。
图7
(学生对于这一问,他们知道求出正三角形外接圆的半径,然后用它和比较,就能得到结论:能被半径为的圆所覆盖。)
如果把长的细绳围成正四边形,结论还成立么?
如图7,点为正方形外接圆的圆心,
由题意可得:,,,
,。结论成立。
图8
(正方形这种情形,是最简单的一种,学生都能很快得到正确结论)。
如果把长的细绳围成正六边形,结论还成立么?
如图8,点为正六边形外接圆的圆心,
作,连接,由题意可得:
,,,
则,。结论成立。
(有前面三问做铺垫,学生可以用同样的方法来计算正五边形
图9
外接圆的半径。)
如果把长的细绳围成正五边形,结论还成立么?
如图9,点为正五边形外接圆的圆心,
作,连接,由题意可得:
,,,
则。
(大部分学生都能得到这个表达式,但是就到此为止了,只有少部分同学能进行下去。我在此时给出下面的引导。)
,,
。结论仍然成立。
(为了能让学生接受在更一般的情形下,结论仍成立。我设计了一个猜想,把长的细绳围成正N边形,它能否被半径为的圆所覆盖?)
猜想:如果把长的细绳围成正N边形,结论还成立么?(证明过程作为课后思考。)
有学生猜想,正N边形是越来越趋向于圆的,如果N变得很大,就直接相当于把长的细绳围成一个圆。这样可得:。结论成立。
图10
有也同学用上面的方法得到表达式。如图10,点为正N边形外接圆的圆心,过作,由题意得:
,,,
可得,。
(至此,学生也就进行不下去了。)
事实上,。
而,这样也得得到,。结论也成立。
(这一问为后面更一般的情形做准备,当把条件再弱化时,学生能从心里接受,也能猜测结论可能还会成立,进而想办法来加以证明。)
如果把长的细绳围成任意平行四边形,还能被半径为的圆所覆盖么?
图11
如图11,把