二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
第五节
函数的极值与
最大值最小值
第三章
定义:
在其中当
时,
(1)
则称为的极大值点,
称为函数的极大值;
(2)
则称为的极小值点,
称为函数的极小值.
极大值点与极小值点统称为极值点.
一、函数的极值及其求法
注意:
为极大值点
为极小值点
不是极值点
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
不存在的点.
1) 函数的极值是函数的局部性质.
例如,
为极大值点,
是极大值
是极小值
为极小值点,
函数
定理 1 (极值第一判别法)
且在空心邻域
内有导数,
(1)
“左正右负”,
(2)
“左负右正”,
(自证)
例1. 求函数
的极值.
解:
1) 求导数
2) 求极值可疑点
令
得
令
得
3) 列表判别
是极大值点,
其极大值为
是极小值点,
其极小值为
定理2 (极值第二判别法)
二阶导数, 且
则在点取极大值;
则在点取极小值.
证: (1)
存在
由第一判别法知
(2) 类似可证.
例如, 例2中
所以
不是极值点.
极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的.
说明:
当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在.
例如, 例2中
所以
不是极值点.
极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的.
说明:
当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在.
例如:
为极大值,
但不满足定理1
~ 定理3 的条件.
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