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高考冲刺——怎样解高考数学应用题
数学是来自于生产生活实际的一门科学,数学的本原就是解决实际问题。在高中数学教材中安排了适量的数学应用题是名正言顺的。自然地,在高中数学试题中考查学生的数学应用能力是理所当然的。
可是,数学应用题对于多数考生来讲,是难以逾越的一条鸿沟,是巍然屹立的一座大山。学生感到困难,其原因如下:
第一是不习惯。应用题的题材具有广泛性和多样性,需要我们在陌生的情景下,坚决舍弃与数学无非的内容,果断找出与数学有关的内容。而对于这一些,学生感到不习惯。
第二是不敏感。应用题因叙述的需要,数量关系是先后在不同的地方出现的,或者是以图表的形式出现的,并非按量与量之间的直接关系一一罗列的,这就需要理顺头绪,找到此量与彼量以及它量的关系。而对于这一些,学生显得不敏感。
第三是不严谨。应用题因文字简练的需要和实际的需要,往往会出现“至少”“至多”这样的字眼或者度量单位的不一致。这就需要我们明察秋毫,静观其成。而对于这一些,学生会粗心大意。
解应用题一般分为四道程序:审题,建模,解题,回归。
其中审题是最为重要的一道程序。建议按如下步骤审题:
第一步,把题目粗读一遍,只要粗读一遍即可,切莫多花时间;
第二步,把与关键字眼做记号(打勾勾或划横线);
第三步,做笔记,把相关的数量关系,用表格的形式或用警察侦破案件的方式在草稿纸上画出来。
一般来说,有了以上三个步骤,题目中的关系基本上就明朗了。
接着进入第二个程序,建模。建议按如下步骤进行:
第一步,归类。将文字语言转化成数学语言或图形语言,联系与此相关的数学知识,把此题归入某一数学模型。数学模型一般有函数型,不等式型,解三角形型,生活型(例如,利润=收入-支出,利润=差价×销售量)等。
第二步,选取模型后,将未知量安上字母将需要的数据用按所取的模型代入数据。
一般来说,有了以上二个步骤,便进入到数学解题阶段了。
下面举例说明如何审题与建模的:
例1 .某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修费用为12万元,从第二年开始,每年所需维修和保养费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利额为y万元。
⑴写出y与x之间的函数关系式;
⑵从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值);
⑶使用若干年后,对机床的处理方案有两种:(Ⅰ)当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床;(Ⅱ)当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床。
请你研究一下哪种方案处理较为合理?请说明理由。
审题:读题一遍,然后划记号如上。
做读题笔记如下:
收入:每年50(万元),
支出:机床进价:98(万元)
维修费用:12,16,20,24,…
建模:利润:收入-支出,
支出费用组成等差数列
⑴解:(1)依题意得:y=50x-[12x+4x(x-1)/2]-98=-2x2+40x-98
⑵分析:盈利是指利润为正,即y>0,
解:令-2x2+40x-98>0,解得10-√51<x<10+√51,
∵x∈N*,∴3≤<x≤17,故从第3年开始盈利。
⑶分析:方案(Ⅰ),年平均盈利额取得最大值,而年平均盈利额=x年的总盈利额/年数,即y/x;
方案(Ⅱ),盈利额y取得最大值。