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如何证明线段相等或成倍数关系
一. 本周教学内容:
如何证明线段相等或成倍数关系
本周我们要进行一次专题复习。如何证明线段相等或成倍数关系的方法进行总结。
我们从八年级二册开始,经过猜想——动手操作(测量、折叠等方法)——获得感性认识——理性思维。对三角形、四边形等几何图形的基本性质和判定做了一系列的探索活动。到目前为止,我们已经基本上掌握了有关知识。所以,今天我们就来运用这部分知识解决一些与线段相等或成倍数关系的问题。
【典型例题】
(一)线段相等:证明线段相等的方法很多,主要有三角形全等、等腰三角形的判定、线段垂直平分线定理、角平分线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。另外证明线段相等还有一类题型,就是证明两条线段的和或差等于某一条线段,此种类型往往采用截长补短的方法进行证明。在例题讲解中,会出现此种类型的题目,请同学们注意。下面,我们就分析几个例题,希望能通过讲解,使同学逐步掌握证明线段相同的方法。
例1. 已知:四边形ABCD中,AD=BC,AC=BD。
求证:OA=OB
分析:若要证OA=OB,可证明OA、OB所在的三角形AOD和BOC全等。根据已知条件:∠1和∠2是对顶角知∠1=∠2,AD=BC,还缺少一个条件。这时我们可以利用给出的已知条件AD=BC,AC=BD,再加上公共边CD,先求证出△ACD≌△BCD,得到∠3=∠4,即可证明OA=OB了。本题利用了三角形全等来证明线段相等。
证明:





例2. △ABC中,AB=AC,D是AB上一点,E是AC延长线上一点,且BD=CE,DE交BC于F。
求证:DF=EF
分析:要证DF=FE,可证DF、FE所在三角形全等,通过分析△BDF和△FCE不全等。故应考虑作辅助线构造全等三角形。
证明:过D作DM//CE交BC于M







例3. 已知:如图,AD//BC,BD平分∠ABC。
求证:AB=AD
分析:要证明AB=AD,我们从图中发现,它们并不处于两个三角形中,再用全等证明似乎不太可能。根据BD平分∠ABC,我们可知∠1=∠2,又利用AD//BC这个条件,可得∠2=∠3,能得到△ABD的两个角相等,再利用等角对等边的性质,得出结论。所以,有时我们在证明线段相等时,可转化成证明角相等。
证明:∵BD平分∠ABC
∴∠1=∠2
∵AD//BC
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴AB=AD(等边对等角)
例4. 已知:在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD上的点,且AE=CF。
求证:DE=BF
分析:在做此题时,许多同学可能还会选择证明△AED≌△BCF来推出DE=BF,但我们还可以借助平行四边形的性质和判定定理来证明此题。
证明:∵ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AB∥CD
∵AE=CF
∴BE=DF
∵BE∥DF
∴DEBF是平行四边形
∴DE=BF
例5. 已知:在△ABC中,AB的垂直平分线交AC于E,若AB=8,DE=3,求BE两点间的距离。
分析:根据已知我们可求出AE的长度,再利用线段垂直平分线定理来求证AE=BE,即可。
解:∵DE是线段AB的垂直平分线
∴AE=BE,AD=BD
在Rt△ADE中,

∴AE=5
∴BE=5
例6. 在△ABC中,AD平分∠BAC,∠ACB=2∠B,求证:AB=AC+CD。
分析:要证明一条长线段等于另两条线段之和的常用方法是延长一条短线段使其等于另一条短线段,再证明长线段等于延长的线段和。所以本题中,要证AB=AC+CD,结论是三条线段间的关系。可延长AC到E,使CE=CD,则原结论可转化为证AB=AE,只需证△ABD≌△AED。
证明:延长AC到E,使CE=CD,连结DE
∵CE=CD,∴∠E=∠CDE
∴∠ACB=2∠E
又∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠E
∵∠1=∠2,AD=AD
∴△ABD≌△AED
∴AB=AE,即AB=AC+CD
这部分证明中常用到的定理有:
(1)直角三角形中,30°的角对的直角边等于斜边的一半。
(2)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
(3)中位线定理。
下面就以几个例子来说明如何使用这三个定理解决线段倍数关系的证明。
例1. 已知:在△ABC中,M是BC的中点,CE⊥AB,BF⊥AC。
求证:EM=FM
分析:此题的结论虽然是证明线段相等,但在证明过程中,却用到了证明线段的倍数关系,使用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个定理。
证明:∵在Rt△BCE和R