线性相关与回归分析.doc

第十章相关与回归分析
第一节简单线性相关分析
一、简单线性相关(直线相关)的概念:
二、相关关系的种类:
(一)按相关程度划分可分为完全相关、不完全相关、和不相关
(二)按相关方向划分可分为正相关和负相关
(三)按相关的形式划分可分为线形相关和非线形相关
(四)按变量多少划分可分为单相关、复相关和偏相关
三、相关分析
相关分析一般可以借助相关系数与相关图来进行相关分析。
(一)相关系数

反映两个变量之间线性相关密切程度和相关方向的统计测定,它是其他相关系数形成的基础。

()
或化简为: ()

(1)相关系数的取值范围在-1和+1之间,即:–1≤r≤ 1。
(2)计算结果,若r为正,则表明两变量为正相关;若r为负,则表明两变量为负相关。
(3)相关系数r的数值越接近于1(–1或+1),表示相关系数越强;越接近于0,表示相关系数越弱。如果r=1或–1,则表示两个现象完全直线性相关。如果r=0,则表示两个现象完全不相关(不是直线相关)。
(4)判断两变量线性相关密切程度的具体标准为:
,称为微弱相关;,称为低度相关;,称为显著相关;称为高度相关。
(二)相关图
相关图又称散点图。它是以直角坐标系的横轴代表标量X,纵轴代表标量Y,将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来,用来反映两变量之间相关关系的图形。

:相关系数检验的目的是判断两变量的总体是否有相关关系。检验样本相关系数r是否总体相关系数为0的总体,如概率p<,认为两变量存在相关关系。
:有t检验和查表法。
(1) t检验法: 统计量计算为:
; v = n-2
(2)查表法:是直接查相关系数界值表得到相应的概率p。统计量r绝对值越大,p越小。
第二节简单线性回归分析
一、回归分析的概念与种类
二、一元线性回归





1)线性:是指反应变量Y的总体平均值与自变量X呈线性关系;
2)独立性:任意两个观察值之间相互独立;
3)正态性:是指对于给定的X值,其对应的Y值的总体和线性模型的误差项ε均服从正态分布;(ε均服从均数为0的正态分布)
4)等方差性:无论X如何取值,Y都有相同的方差。

回归方程的显著性检验
检验自变量和因变量之间的线性关系是否显著。具体方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和(SSE)加以比较,应用F检验来分析二者之间的差别是否显著,如果是显著的,两个变量之间存在线性关系;如果不显著,两个变量之间不存在线性关系。
·SS总=SS回+SS剩
SS回为回归平方和,它反映在Y的总变异中,由于X与Y的直线关系,而使得Y变异减小的部分,也即在总平方和中可以用X解释的部分。SS回越大,说明回归效果越好。
SS剩为剩余平方和,它反映X对Y的线性影响之外的因素,对Y的总变异的影响,也即在总平方和中无法用X解释的部分。SS剩越小,说明直线回归的估计误差越小。
回归系数的显著性检验

·对于一元线性回归,回归方程的显著性检验与回归系数的显著性检验是等价的。可通过方差分析或t检验进行。
三、相关与回归分析应用注意事项

(1)区别:
①相关分析要求两个变量均服从正态分布,而回归分析则有两种不同的模型。Ⅰ型回归:定x后对y进行测量,y须服从正态分布;Ⅱ型回归:x,y均须服从正态分布,如体重依身高的变动关系。
②对于同一资料,只能计算一个相关系数,而Ⅱ型回归可以计算由x推y和由y推x的两个回归方程,但两者不是反函数的关系。
③回归反映两变量间的依存关系,相关反映两变量间的相互关系。有相关联系不一定是因果联系。
(2)联系:
①同一资料r与b符号相同。
②同一资料r与b的假设检验结果是等价的。
③ r与b可以互相换算。
④相关是相互关系,双方向,-1≤r≤+1,无单位,有相关不一定有回归;回归是依存关系,单方向, 无限, 有单位,有回归一定有相关。

第三节秩相关
秩相关又称等级相关,是一种用等级数据进行直线相关分析的非参数统计方法,适用于双变量不服从正态分布的资料;总体分布型未知;等级资料或无确切数值资料。
秩相关用等级相关系数rs表示密切程度及方向。其取值范围为-1≤r≤+1;r>0为正相关,r<0为负相关;r=0,表示无线性相关关系,为零相关。
rs = 1-
第十一章多重线性回归
:
多重线性回归的概念: