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:..不变子群的判别条件高海燕(西北师范大学数学系2003届)摘要:不变子群是一类重要的子群,,除了应用定义外,也可以应用其判别条件,本文在就对这些判别条件进行归纳,:不变子群,陪集,共轭,正规化子,同余关系一、准备知识设是的一个子群,如果对,都有,那么,:.设和是群中的两个元素,如果在中至少可找到这样的一个元素,使,:N(H)={g∈G︱H=H}={g∈G︱gHg=H}称H在G中的正规化子。:设集合A中有二元运算,记作乘法,若A的一个等价关系R满足:aRb,cRdacRbda,b,c∈A则称R为A的一个同余关系。,及其证明过程.㈠.,即a∈G,有aH=∈G,有aHa=∈G,∈G,h∈H,有aha∈∈G,∈G,=abH,a,b∈∈G,有aHa=∈G,∈G,h∈H,有aha∈∈G,∈G,=Hab,a,b∈(即陪集)之集合关于陪集之积运算构成群.(即商群存在),则G中由aRb,当ab∈H,(H)=∈N,则所属的G的共轭元素C(n)H。即H由G的若干整个的共轭类组成。证明上述条件的等价性,:证明思路:2←→9,3←→10,4←→11,5←→12,6←→13,7←→14,8←→15817↓↑↓↑18←→1→2→3→4→5→6→1←→19↓↑↑↓7→→→→→←←←←16证明过程:29:a∈G,有aHa=H,故a(aHa)a=aHaaHa=H92:a∈G,有aHa=H,故a(aHa)a=aHaaHa=H310:a∈G,有aHaHaha∈Haha=hh,h∈Hh=ahaaha∈HaHaH103:a∈G,有aHaHaha=hh,h∈Hh=ahaaha∈HaHaHa∈G411:a∈G,h∈H,有aha∈Haha=hh∈Haha=haha∈Hh∈H114:a∈G,h∈H,有aha∈Haha=hh∈Haha=haha∈Hh∈H512:a∈G,有aHHaah=hah,h∈Hha∈aHHaaH125:a∈G,有HaaHha=ahh,h∈Hah∈HaaHHa613:a∈G,有HaHah∈aHah=ahah,h∈Hh=ahah∈aHaHaHaa∈G136:a∈G,有HaHaaHaa(aHa)a即aHaHaha=hh,h∈Hh∈aHaHaHaa∈G714:∵aHbH=abH,a,b∈GH(aHbH)H=H(abH)HHaHb=Hab,a,b∈G147:∵HaHb=Hab,a,b∈GH(aHbH)H=H(abH)HaHbH=abH,a,b∈G815:H在G中的每个左陪集都是一个右陪集,即a∈G,有aH=Ha故Ha=aHa∈G即H在G中的每个右陪集都是一个左陪集12:由H是G的不变子群,即a∈G,有aH=Ha,于是aHa=Haa=He=H23:a∈G,有aHa=H,显然aHaH34:a∈G,有aHaH故a∈G,h∈H有aha∈H45:a∈G,aha∈Hah∈Hah∈HaHHa56:a∈G,aHHaa(aH)aHaHaHaa∈G61:a∈G,有HaHah∈aHah=ahaah=hah,h∈HaHHa且HaaHHa=aHa∈G17:先证aHbHabH:a∈G,有aH=Ha,设a,b∈G,存在h,h,h,h∈H,有ha=ahhb=bh于是ahbh=hahb=abhh=abh∈abHaHbHabH再证abHaHbH∵abh=ahb1∈aHbHabHaHbHa,b∈G综上a,b∈G,有aHbH=abH74:设a∈G,h∈H,有aha∈aHaH∵aHaH=aaH=H∴aha∈Ha∈G,h∈H174:设R是同余关系,a∈G,h∈H,于是有ahRa,aRa∴(ah)aRaa即ahaRe,亦即aha∈H417:g∈G,h∈H有ghg∈H,设aRb,cRd,则存在h,h∈H,使得b=ahd=ch又∵(dhd)h∈H∴(bd)ac∈H即acRbd,亦即R为同余关系28:a∈G,aHa=H(aHa)a=HaaH=Ha即每个左陪集同时也是右陪集。82:若