北京科技大学计算方法试题2006.doc

一、填空题(1-7每空2%*10,8-9每空3%*10)
1、数值的近似值,若满足(),则称有4位有效数字.
2、已知,则范数=5,=(28).
3、解非线性方程的牛顿迭代法在3重根附近是(线性)收敛的。
4、若,则其10阶差商10
5、求解常微分方程初值问题的梯形公式为或。
6、若系数矩阵是(严格对角占优)阵,则求解线性方程组的雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛。
7、复化抛物线公式的收敛阶是(4)。
8、给定矩阵,则其雅可比迭代矩阵为(),高斯-赛德尔迭代矩阵为()。
9、利用Romberg序列,近似计算,若,,则=(0).
二、(10分)使用LU分解求解方程
解:





LU分解6分,L和U各3分,个别数据错误酌情扣分


每个解1分
三、(10分)已知正弦函数表:

x
21。
22。
24。
25。
f(x)




用Newton插值求sin23的近似值,并估计误差。(注)
解:(1)
x
f(x)
一阶差商
二阶差商
三阶差商
21

22


24


-
25




每个差商1分,共6分
插值2分

其中
注意到
误差
或误差分析2分
注实际值
(2)
x
f(x)
一阶差商
二阶差商
三阶差商





-




每个差商1分,共6分
插值2分

其中
注意到
误差
或误差分析2分
注实际值
四、(10分)使用牛顿迭代法求解方程在区间上的解,要求精确到
小数点后3位。
解:
迭代公式迭代公式2分
选择初始点需要
下面每步迭代2分(基本上仅需四次迭代)共8分
(1)取

(2)取

(3)取

五、(12分)找出合适的使求积公式
代数精度尽可能高。并给出此最高代数精确度。
解:令
令
=0
令
令
令
令
若原求积公式有4次以上的代数精确度,需要
上述三个方程每个2分
由(1)得(4)
将代入(2)(3)
得和
即和
所以
求解得(1分) 所以(1分) (2分)
即
由前面的分析求解过程知当时等式左右均相等
而时,
而
所以
在,和时达到最高代数精确度5。
验证最高精度2分
六、(10分)找出合适的四次多项式,使得
且,。
解:(方法一)因为
所以(2分)
又为四次多项式,所以为一次多项式,设,(1分)
则(1分)
(1分)
(1分)
(1分)
解得(2分)
所以(1分)
(方法二)
设
则





每个方程1分
解得 a=0,b=-3,c=8,d=-5,e=1 每个系数1分
(方法3)使用基函数
其中