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求数列的通项公式、数列求和方法的探讨
一、求数列的通项公式方法的归纳:
求数列通项公式常用观察法、公式法、等差或等比通项公式法、递增关系变形法(累加、累乘)等。
: ,注意两种情况能合并,则合并,不能合并,则分段表示。
:
(1)、型(用累加法)
即:,…,,将上述个式子相加,
可得:
例如:求解等差数列通项公式
(2)、型(用累乘法)
即,,…….. 将上述个式子相乘,
可得:。
(3)型(
方法一:待定系数法
,通过待定系数法求出的值,构造成以为首项,以为公比的等比数列。
方法二:迭代法
=
==
而是一个等比数列,求出其和,即可求出通项。
(4)型
方法一:待定系数法
通过待定系数法确定的值,转化成以为首项,以为公比的等比数列。
方法二:等式两边同时除以有,转化为型。
(5)型两边取倒数有转化为型。
二、数列求和的方法
(1)公式法:
等差数列:; 等比数列:;

例1 已知数列,(x≠0),数列的前n项和,求。
解:当x=1时,
当x≠1时,为等比数列,公比为x
由等比数列求和公式得= (利用公式)
【巩固练习】已知数列的通项公式为,为的前n项和,
(1)求; (2)求的前20项和。
(2)错位相减法:
这是推导等比数列前项和公式时所使用的方法,这种方法主要用于求数列的前项和,其中分别是等差数列和等比数列。
例2 求和:………()
解: 当x=1时,
当x≠1时, ………………. ①
①式两边同乘以x得………②(设制错位)
①-②得(错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:
∴
【巩固练习】(2010年全国高考宁夏卷17)设数列满足
(1)求数列的通项公式;(叠加法) (2)令,求数列的前n项和
解:(Ⅰ)由已知,当n≥1时,
。
而所以数列{}的通项公式为。
(Ⅱ)由知
①
从而
②
①-②得
。
即
点评:本题主要考察由递推关系求数列通项的方法以及运用错位相减法求数列的和。熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
(3)倒序相加法
将一个数列倒过来排序,当它与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和。
例3:求解等差数列前n项和公式
(4)分组求和法
数列既不是等差数列又不是等比数列时,但它可以通过适当拆分,分为几个等差、等比