高中数学数列知识点总结(经典).doc

数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义:(为常数),
等差中项:成等差数列
前项和
性质:是等差数列
(1)若,则
(2)数列仍为等差数列,仍为等差数列,公差为;
(3)若三个成等差数列,可设为
(4)若是等差数列,且前项和分别为,则
(5)为等差数列(为常数,是关于的常数项为0的二次函数)
的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界项,
即:当,解不等式组可得达到最大值时的值.
当,由可得达到最小值时的值.
(6)项数为偶数的等差数列,有
,.
(7)项数为奇数的等差数列,有
,
,.
2. 等比数列的定义与性质
定义:(为常数,),.
等比中项:成等比数列,或.
前项和:(要注意!)
性质:是等比数列
(1)若,则
(2)仍为等比数列,公比为.
注意:由求时应注意什么?
时,;
时,.

(1)求差(商)法
如:数列,,求
解时,,∴①
时, ②
①—②得:,∴,∴
[练习]数列满足,求
注意到,代入得;又,∴是等比数列,
时,
(2)叠乘法
如:数列中,,求
解,∴又,∴.
(3)等差型递推公式
由,求,用迭加法
时,两边相加得
∴
[练习]数列中,,求()
(4)等比型递推公式
(为常数,)
可转化为等比数列,设
令,∴,∴是首项为为公比的等比数列
∴,∴
(5)倒数法
如:,求
由已知得:,∴
∴为等差数列,,公差为,∴,
∴
(
附:
公式法、利用、累加法、、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项.
如:是公差为的等差数列,求
解:由
∴
[练习]求和:
(2)错位相减法
若为等差数列,为等比数列,求数列(差比数列)前项和,可由,求,其中为的公比.
如: ①
②
①—②
时,,时,
(3)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.
相加
[练习]已知,则

由
∴原式
(附:

如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:等差数列前n项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。

对等差数列、等比数列,求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n项和。

错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式