高数B(2)6~10章知识点总结.doc

第6章定积分
§6. 1 定积分的概念与性质

其中:,;;
几何意义:表示,,,所围曲边梯形面积的代数和
可积的必要条件:在区间上有界
可积的充分条件:(可积函数类)
(1)若在上连续,则必存在;
(2)若在上有界,且只有有限个第一类间断点,则必存在;
(3)若在上单调、有界,则必存在。
2. 性质
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4)
(5)
(6)若,, 则
推论1:若,, 则
推论2:
(7)若,, 则
(8)若在上连续,在上不变号,存在一点

特别地,若,则至少存在一点,或,使得

(9)若在上连续,则其原函数可导,且
(10)若在上连续,且,则
§6. 2 定积分的计算
1. 换元法
2. 分部法,或
3. 常用公式
(1)
(2),其中,为连续偶函数
(3),其中
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
§6. 3 广义积分
1. 无限区间的积分(无穷积分)
(1)定义与性质
,若极限存在,则原积分收敛;
,若极限存在,则原积分收敛;
,必须右边两积分都收敛,原积分才收敛;
,,,具有相同敛散性;
,即收敛积分和仍收敛
(2)审敛法
比较审敛法:
设,则
比较法的极限形式:
设,则
柯西审敛法:
设,则
特别地,
绝对收敛与条件收敛:
2. 无界函数的积分(瑕积分)
(1)定义与性质
(),若极限存在,则原积分收敛;
(),若极限存在,则原积分收敛;
(),两积分都收敛,原积分才收敛;
,,具有相同敛散性;
,即收敛积分和仍收敛
(2)审敛法
比较审敛法:设非负,且,
若,则
比较法的极限形式:若,则
柯西审敛法:若,或,则
特别地,
§6. 5 典型例题解析

解题思路
(1)利用公式
(2)若被积函数含积分限变量,需用变量代换化为变限积分的一般形式求解;
(3)变限积分是由积分限位置变量决定的函数,它与积分变量无关。利用变限积分的求导同样可以分析函数的特性。

解题思路若将积分区间等分,,取,则
3. 利用定积分的性质求极限
解题思路
(1)若极限含定积分,可利用定积分的中值定理求解;或利用定积分的估值性质建立不等式,用夹逼定理求解;
(2)若极限含变限积分,可利用罗必达法、夹逼定理和周期函数的定积分性质求解。

解题思路
(1)计算定积分时,必须考虑积分变元的变化范围和应用牛—莱公式的条件。
(2)应用第一类换元法(凑微分法)直接求解;
(3)若被积函数含,,,分别令,,;
(4)作变量代换时须相应改变积分限。一般地,积分区间为,令;积分区间为,令。
(5)被积函数为,或型积分变量代换条件:积分上下限不变或换位,变换前后形式为;或

解题思路一般计算方法与不定积分分部法类似。
(1)若被积函数含,,将,取作,其余部分取作;
(2)若被积函数含变限积分,将变限积分取作,其余部分取作;或将原积分化为二重积分,再改变积分次序求解。

解题思路利用恒等变形和变量替换法将积分或部分积分化为已知公式标准型求解

解题思路
(1)若被积函数是奇、偶函数,用奇偶函数的定积分性质求解
(2)若被积函数不是是奇、偶函数作负代换求解;
(3)若,为连续偶函数,则,注意,可直接验证,则,

解题思路:
(1)以函数分段点将积分区间分为相应子区间,利用定积分的对区域可加性求解;
(2)当被积函数是给定函数的复合函数时,用变量代换化为给定函数的形式求解;
(3)令绝对值表达式为零,去掉绝对值符号,再用分段函数积分法求解。
、变限积分方程的求解
解题思路
(1)若方程含定积分,令定积分为,方程两边再取相同积分限的定积分求解;
(2)若方程含变限积分,方程两边求导化为微分方程求解;
,性质和几何意义有关命题的证明技巧
解题思路(1)利用已知不等式将函数改写为和式的极限,再由定积分的定义求证;(2)当函数单减时,曲边梯形的面积个窄条矩形面积之和;
、微分和积分中值定理的命题
解题思路
(1)若结论不含,则将结论改写为的形式,左边设为辅助函数,用
介质定理、微分和积分中值定理求解;
(2)若结论含,将结论左边改写为某微分中值定理的标准形式(右边含),再由此作辅助函数(有时需将所含定积分化为积分上限的函数),