排列与组合.doc

排列与组合.doc 排列与组合
[知识梳理]


(1)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用A表示.
(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用C表示.
、组合数的公式及性质
公式
(1)A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=
(2)C==
=
性质
(1)0!=1;A=n!
(2)C=C;C=C+C

(1)①A=(n-m+1)A;
②A=A;
③A=nA.
(2)①nA=A-A;
②A=A+mA.
(3)1!+2·2!+3·3!+…+n·n!=(n+1)!-1.
(4)①C=C;
②C=C;
③C=C.
(5)①kC=nC;
②C+C+C+…+C=C.
[诊断自测]

(1)从1,2,3,…,9任取两个不同的数,分别填入和式□+□中求和有多少个不同的结果?此题属于排列问题.( )
(2)从2,4,6,8任取两个数,分别作对数“log□□”的底数、真数,有多少个不同的对数值?此题属于排列问题.( )
(3)甲、乙、丙、丁四个好朋友相互发微信,共有多少条微信?此题属于组合问题.( )
(4)若组合式C=C,则x=m成立.( )
答案(1)× (2)√(3)× (4)×


(1)(选修A2-3P18例3)6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )

答案 C
解析先把甲、乙两人“捆绑”在一起看成一个人,因而有A种不同排法,再把两人“松绑”,两人之间有A种排法,因此所求不同排法总数为AA=.
(2)(选修A2-3P28A组T17)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是( )

答案 C
解析解法一:=18种,=12种,=.
解法二:从7名同学中任选3名的方法数,再减去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数,即C-C-C=.

(1)某学校要召开期末考试总结表彰会,准备从甲、乙等7名受表彰的学生中选派4人发言,要求甲、乙2名同学至少有1人参加,那么不同的发言种数为( )

答案 B
:甲、乙2人中恰有1人参加,方法种数为C·C·A=480,第二种:甲、乙2人同时参加,方法种数为C·A=,不同的发言种数为480+240=.
(2)从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有________个.
答案 300
解析符合条件的四位数的个位必须是0或5,但0不能排在首位,故0是其中的特殊元素,,0排在十、百位和不含0为标准分为三类:
①0排在个位能被5整除的四位数有A·(CC)A=144个;
②0排在十、百位,但5必须排在个位有A·)·A=48个;
③不含0,但5必须排在个位有A· (CC)A=108个.
由分类加法计数原理得所求四位数共有300个.
题型1 排列问题
7位同学站成一排:
(1)其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?
(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?
(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种?
(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?
(5)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?
(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?
(7)甲总在乙的前面的排法有多少种?
解(1)其中甲站在中间的位置,共有A=720种不同的排法.
(2)甲、乙只能站在两端的排法共有AA=240种.
(3)7位同学站成一排,共有A种不同的排法;
甲排头,共有A种不同的排法;
乙排尾,共有A种不同的排法;
甲排头且乙排尾,共有A种不同的排法;
故共有A-2A+A=3720种不同的排法.
(4)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法,所以这样的排法一共有AA=1440种.
(5)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有:
解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头