用数学方法计算摇骰子游戏中的“鱼、虾、蟹”赔率.doc

用数学方法计算摇骰子游戏中的“鱼、虾、蟹”赔率
一、游戏背景
有这样的一种赌博游戏:一颗正六面体骰子每个面分别印有鱼、虾、蟹、公鸡、金钱、葫芦六种图案,共有三颗这样骰子。游戏规则如下:
假如你下注买了“鱼”,骰子摇均匀后打开,有下面四种情况出现:(1)若没有骰子中,则庄家赢了你的赌注;(2)若有一颗骰子中,则庄家赔你1倍的赔率;(3)若有两颗骰子中,则庄家赔你2倍的赔率;(4)若三颗骰子都中,则庄家赔你3倍的赔率。买其它图案的赔率跟上面的情况一样。
二、问题的提出
如果长时间玩这个游戏,最后的赢家总是庄家,输家总是买家。不是因为庄家的运气好而买家的运气差,用数学的办法分析,答案只有一种,就是庄家赢的概率比买家大,游戏不公平。那么庄家和买家他们赢的概率各是多少?接下来通过两种分析方法来解决这个疑问。
三、赔率计算方法
(一)方法1:利用排列组合的知识分析赔率
游戏设定:某人下注买了“1”这一面,下面通过组合、方程两种方法来分析,计算赔率情况。
为了方便画树状图,把骰子的六个面进行注明:
1——代表“鱼”面,2——代表“虾”面,——代表“蟹”
面,4——代表“公鸡”面,5——代表“金钱”面,6——代表”葫芦”面
三颗骰子同时抛出一共有216种排列结果,可将这些结果分成以下四类:(1)没有“1”的结果有:p51×p51×p51=125(种);(2)有一个“1”的结果有:c31×c51×p51=75(种);(3)有两个“1”的结果有:c32×p51=15(种);(4)有三个“1”的结果有:c33=1(种)。因此,出现“1”的面共有:75×1+15×2+1×3=108(面)。
错误解答:很多人会直接把108和216两个数一起比较,认为■=■=50%,所以这个游戏庄家和买家赢的概率都为50%,游戏公平。
正确解答:一定要注意这个游戏中输的次数,在上面游戏中没有出现“1”面朝上的结果有 125种,庄家赢的概率为:■=■,买家赢的概率为:■=■,因此,庄家赢的概率比买家要大。游戏不公平,那么怎样在这个游戏中通过改变赔率,从而使游戏变得公平?可以通过构建方程来分析。
设中一个“1”赔率为a,中两个“1”赔率为b,中三个“1”赔率为c。得方程:75×a+15×b+ 1×c=125 。因为是一个三元一次方程,所以只能用推理的方法来分析:
a不能是2或以上的数,只能是1,所以“一赔一”合理;
当a=1,则b的取值范围是2n颗2n面体的骰子游戏赔率情况应该是:(1)中一个面有1倍的赔率;( 2)中两个面有3倍的赔率;(3)中三个面有5倍的赔率;(4)中四个面有7倍的赔率
……(n)中n个面有(2n-1)倍的赔率。
由上面的猜想可以得出两条这样的等式:
■c■×(p■)n-1×1+c■×(p■)n-2×3+c■×(p■)n-3×5+…+c■×(p■)0×(2n-1)=(p■)n 或c■×(2n-1)n-1×1+c■×(2n-1)n-2×3+c■×(2n-1)n-3×5+…+c■×(2n-1)0×(2n-1)=(2n-1)n
由于能力有限还未能求证,希望有能力的读者能证明出来!
五、游戏的变式——赔率的改变
在四颗八面体的骰子中,要4个面都相同的概率为:■=■,概率非常低,而上面的游戏设定4个面相同的赔率只有7倍,很显然这个游戏