线性代数（第二版）第二节相似矩阵和 与矩阵可对角化的条件.ppt

第二节相似矩阵与
相似矩阵的概念
相似的性质
矩阵可对角化的条件
矩阵对角化的步骤
若尔当(Jordan)典范形
矩阵可对角化的条件
相似矩阵的性质
则称矩阵 A 相似于矩阵 B,
一、相似矩阵的概念
定义 设 A , B 为 n 阶矩阵, P 为 n 阶可逆
矩阵, 且
P-1AP = B ,
记作 A ~ B .
例 1 设
则矩阵 P,Q 都可逆.
由
可知
由
所以
由此可以看出,与 A 相似的矩阵不是唯一的,
也未必是对角矩阵.
然而,对某些矩阵,如果适当
选取可逆矩阵 P ,就有可能使 P -1AP 成为对角矩阵.
相似描述了矩阵之间的一种关系, 这种关系具有
下面的性质:
相似与等价的关系
若两个矩阵相似,则它们一定等价,反之,两
个等价的矩阵不一定相似.
(1) 自反性 A ~ A .
(2) 对称性如果 A ~ B , 则 B ~ A.
(3) 传递性如果 A ~ B , B ~ C , 则 A ~ C .
二、相似的性质
设 A,B,C 为 n 阶矩阵,则有
四、矩阵可对角化的条件
如果 n 阶矩阵 A 可以相似于一个 n 阶对角矩阵
,则称 A 可对解化,称为 A 的相似标准形
(矩阵) .
本节
说明,
如果适当选取可逆矩阵
P,则可以使 P-1AP 成为对角矩阵.
然而,并非所有
的 n 阶矩阵都可对角化.
下面,我们将讨论矩阵可
对角化的充分必要条件.
定理 n 阶矩阵 A 相似于n 阶对角矩阵的
充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.
推论如果 n 阶矩阵 A 有 n 个互不相同的特征
值1 , 2 , …, n , 则 A 与对角矩阵相似.
其中
的主对角线的元依次为1 , 2 , …, n .
应注意,由 n 阶矩阵 A 可对角化,并不能断定
A 必有 n 个互不相同的特征值.
例如,数量矩阵 aE
是可对角化的,但它只有特征值 a (n 重) .
在矩阵 A 的特征值中有重根的情形,可设 A 的
所有不同特征值为1 , 2 , …, m ( m  n ) .
而i 是
A 的 ni 重特征值.
于是
n1 + n2 + …+ nm = n .
如果对于每一个相异特征值i ( i = 1, 2, …, m ),
特征矩阵( i E – A ) 的秩等于 n – ni ,则齐次线性方
程组( i E – A )X = 0 的基础解系一定含有 ni 个线性
无关的特征向量.
根据
矩阵 A 就有 n
个线性无关的特征向量.
这时矩阵 A 一定可对角化.