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第一章序言
什么是最有效的算法?
电子计算机实质上只会做加、减、乘、除等算术运算和一些逻辑运算,由这些基本运算及运算顺序规定构成的解题步骤,、算法语言、数学语言或自然语言来描述。用计算机算法语言描述的算法称为计算机程序。
最有效的算法:运算量少,应用范围广,需用存储单元少,逻辑结构简单,便于编写计算机程序,而且计算结果可靠。
在数值计算中,为避免运算带来较大的误差,应注意哪些问题?(数值稳定性原则)
1)防止大数吃小数
2)防止相近的两数相减
3)防止接近零的数做除数
4)简化计算步骤,减小运算次数,避免误差积累
5)要控制舍入误差的累积和传播
绝对误差(限)、相对误差(限)以及有效数字(位数):
规格化浮点数 x=±...at´10c aiÎ{0,1,2,…,9}, a1¹0,L£c £U
定义设近似数x=±…an×10m,其中ai∈{0,1,2,…,9}(i=1,2,…,n),
a1≠0,m为整数,如果,则称近似值x有n位有效数字,其中a1,a2,…,an都是x的有效数字,也称x为有n位有效数字的近似值
定理设近似数x=±…an×10m有n位有效数字,则其相对误差限为:
(课后做过的练习)如:P12—13 3、4、8、9、11、12
例: 是由准确值按四舍五入得到的近似值,则它的绝对误差限为
=,相对误差限为,有效数字的位数为 3 位。
第二章方程求根
二分法()
二分法就是将方程的有根区间对分,然后再选择比原区间缩小一半的有根区间,如此继续下去,直到得到满足精度要求的根为止的一种简单的区间方法。
基本法原理:给定方程f(x)=0,设f(x)在区间[a,b]连续,且f(a)×f(b)<0,则方程f(x)在(a,b)内至少有一根,为便于讨论,不妨设方程f(x)=0在(a,b)内只有一实根 x *.采取使有根区间逐步缩小,从而得到满足精度要求的实根 x * 的近似值 x k 。
取[a,b]区间二等分的中点,若f(x0)=0,则x0是f(x)=0的实根;
若f(a)f(x0)<0 成立,则 x * 必在区间(a, x0)内,取a1=a,b1= x0;否则 x *必在区间(x0,b)内,取a1= x0,b1=b, 这样,得到新区间(a1,b1),其长度为[a,b]的一半, 如此继续下去,进行k次等分后,得到一系列有根区间:,其中每一个区间长度都是前一个区间长度的一半,从而[ak ,bk ]的长度为如此继续下去,则有这些区间将收敛于一点,,有:
即
(ε为给定的精度)
此时即为所求方程的近似解。
一般迭代法及其收敛性的判别:(例题,作业题)
不动点迭代法又称简单迭代法。
基本思想:构造不动点方程,以求得近似根。即由方程f(x)=0变换为等价方程 x=j(x) ,这样原方程的根必满足:x*= j(x*) ,即j(x) 作用在x*上,其值不发生变化,因此我们也称x*为j(x) 的不动点,要求方程f(x)=0的根就转化为求j(x) 的不动点了。
具体迭代如下:
先取一个估计值x0来试探,若j(x0) =x0,则x*=x0(可能性很小)一般 j(x0) ≠x0,记 x1=j(x0) ,若x1=j(x1) , 则x*=x1
若x1≠j(x1) ,记 x2=j(x1) ,再用x2继续试探……
如此反复计算,即形成一迭代公式 xk+1=j(xk) ,(k=0,1,2,…)
如果{xk}收敛,则称迭代公式是收敛的;否则称迭代公式是发散的。
如果{xk}收敛于x*,而j(x)是连续函数时,那么x*即是j(x)的不动点。也即x*就是方程的根。
定理1: 设j(x)在x= j(x)的根x*邻近有连续的一阶导数,且| j’(x*)|<1,
则迭代公式xk+1=j(xk)具有局部收敛性。
注:有局部收敛性的条件| j’(x*)|<1可用
| j’(x0)|<1来近似代替。
(没要求计算近似值时,不需迭代,而用该定理判断其收敛性)
定理2:对于迭代公式xk+1= j(xk) ,如果j(p)(x) 在所求根x*的邻近连续,并且j’(x*)= j’’(x*) =...= j(p-1)(x*) =0,j(p)(x*)≠0, 则该迭代公式在点x* 邻近是P阶收敛的。
牛顿迭代法及其收敛性(例题,作业题)
——牛顿迭代公式
牛顿迭代公式具有2阶收敛的速度。
迭代过程的加速方法:(例题,作业题)
例:方程x3-3x-1=0在x =2附近有一个正根
试给出两种迭代公式,并判断其收敛性;对于收敛的迭代公式确定其收敛速度(阶数).
用牛顿迭代法求其根的