45定积分与微积分基本定理1.ppt

a
b
x
y
o
定积分的背景及定义
高二数学刘细菊

2

1

-
1
A
B
演示
分割
化整为零
求和
取逼近
精确值
以直代曲求近似
背景1:求曲边梯形面积
——定积分
微小矩形块面积
高
宽
指定范围累积求和
定积分的定义:
一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度为,在每个小区间上取一点,依次为
x1,x2,…….xi,….xn,作和
如果无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作: .
被积函数
积分变量
积分下限
积分上限
注:定积分数值只与被积函数及积分区间[a, b] 有关, 与积分变量记号无关
定积分的几何意义.
当 f (x) ≥ 0,定积分
的几何意义就是
b
A
o
x
y
a
y=f (x)
S
曲线 y = f (x)
直线 x = a, x = b, y = 0 所
围成的曲边梯形的面积
当函数 f (x)  0 , x[a, b] 时
定积分几何意义
就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数.
o
x
y
a
b
y=f (x)
S
当函数 f (x)在 x[a, b] 有正有负时, 定积分几何意义
就是图中几个曲边图形面积的代数和,(x轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号)
O
X
S2
S1
y
S3
背景2:求变速运动的路程
t=a
t=b
v(t)
微小时间段所走路程
速度
时间
某物体的速度为v(t),求它在t=a至t=b这段时间所走过的路程
分割
求和
取逼近
用定积分表示下列阴影部分面积
X
y
y=cosx
y=x2-4x-5
X
O
y
5
-1
π
2π
四、小结
:特殊和式的逼近值.
:
分割
化整为零
求和
积零为整
取逼近
精确值——定积分
求近似以直(不变)代曲(变)
取逼近