二重积分的计算方法82762§ 二重积分的计算方法
一、利用直角坐标计算二重积分
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,
故二重积分可写为
D
则面积元素为
当函数f(x,y)在区域D上连续时,我们可以用特定的分割
来解决定积分的计算。
已知平行截面面积
的立体的体积
注:二重积分转变为二次积分的
推导过程借助于几何直观,略去
了分析证明过程。
用平面x=x0截立体,截得A(x0). 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,
得
注意D的特殊之处。
如果积分区域为:
其中函数、在区间上连续.
[X-型]
X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
如果积分区域为:
[Y-型]
Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图,
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
则必须分割.
对非X、Y型区域
解
积分区域如图
解
原式
解
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